高等数学不定积分重点难点复习

一花一叶1一叶一世界不定积分一、基本要求1.理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。2.掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。3.了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。二、主要内容Ⅰ.原函数与不定积分概念1.原函数设在区间Ⅰ上)(xF可导，且)()('xfxF（或dxxfxdF)()(）就称)(xF为)(xf在Ⅰ的一个原函数。2.不定积分在区间Ⅰ上函数)(xf的所有原函数的集合，成为)(xf在区间Ⅰ上的不定积分，记作dxxf)(.CxFdxxf)()(其中)(xF为)(xf在Ⅰ上的一个原函数，C为任意常数.Ⅱ.不定积分的性质1.dxxfdxxfd)()((或)())(('xfdxxf)2.Cxfxdf)()((或Cxfdxxf)()(')3.dxxfkdxxkf)()(其中k为非零常数.4.dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.Ⅲ.基本积分公式1.Ckxkdx(k为常数2.Cxudxxuu1113.Cxdxxln14.Cxxdxarctan125.Cxxdxarcsin126.Cxdxxsincos7.Cxxdxcossin8.Cxxdxtansec29.Cxxdxcotcsc210.Cxxdxxsectansec11.Cxxdxxcsccotcsc12.Cedxexx13.Caadxaxxln114.Cchxshxdx15.Cshxchxdx16.Cxxdxcoslntan17.Cxxdxsinlncot18.Cxxxdxtanseclnsec19.Cxxxdxcotcsclncsc20.Caxaxadxarctan122一花一叶2一叶一世界21.Caxaxaaxdxln212222.Caxxadxarcsin2223.2222ln()dxxxaCxa24.2222ln()dxxxaCxaⅣ.换元积分法1.第一类换元法.(凑微分法)dxxxf)()](['()()[()]fuduFuCFxC()(xu)2.第二类换元法dxxf)('1[()]()()[()]fttdtFtCFxC()(tx)(其中)(tx单调可导，且0)(t，)(tF为)()](['ttf的一个原函数)Ⅴ.分部积分法)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu(其中)(xu)(xv具有连续导数)Ⅵ.有理函数与三角函数有理式的积分两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和下列四种部分分式的积分.(1)dxax1(2)dxaxn)(1(3)dxqpxxcbx2(4)dxqpxxcbxn)(2而求这四种积分也可用凑微分法或第二类换元法.三角函数有理式的积分，总可用万能代换2tanxu将原不定积分化为u为积分变量的有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本公式或积分方法求解，可能更简便些.三、重点与难点原函数与基本积分公式换元法、分部积分法等基本积分方法抽象函数的积分四、例题解析Ⅰ、选择题例2设)(xf有原函数xxln，则xdxxln（）(A))ln4121(2Cxx(B))ln2141(2Cxx(C))ln2141(2Cxx(D))ln4121(2Cxx一花一叶3一叶一世界解2)()(2xdxfdxxxfdxxfxxfx)(2)(2'22而1ln)ln()('xxxxf，xxf1)('，故所以应选(B).例3解下列各题，并比较其解法：(1)dxxx22(2)dxxx222(3)dxxx232(4)dxxx242解(1)Cxxdxdxxx)2ln(21)2(212122222.(2)dxxdxxxdxxx)221(22)2(222222Cxx2arctan2.(3)22222223)222(212212dxxxdxxxdxxx(4)dxxxdxxxdxxx)242(2442222424比较上述四题，发现各小题的被积函数很相似，但解法却不尽相同。注意观察被积函数的特点，第一题中分子的次数比分母低一次，正好可凑微分使变量一致；第二题中分子与分母同次，需要拆项，使分子次数低于分母，即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分；第三题中分子次数高于分母一次，凑微分后分子分母同次，再仿第二题求解；第四题中分子次数高于分母二次，凑微分则无效，只能根据分母情况拆项仿第二题的方法求解。由此可见在不定积分的计算过程中需针对具体情况选择适当方法求解。例5讨论利用第一类换元法求积的几种类型(设CuFduuf)()()(1))()(1)(baxdbaxfadxbaxfduufa)(1(baxu)(2))()(1)(1baxdbaxfandxxbaxfnnnnduufan)(1(baxun)如求dxxx243)(cos一花一叶4一叶一世界解原式424)(cos141dxxCx)tan(414(3)xdxfdxxxfln)(ln1)(lnduuf)(CuF)(Cxf)(ln(xuln)如求dxxx3ln2解原式)ln2(ln23xdxCx34)ln2(43(4)xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin如求dxxx2cos3cos解原式xdxsinsin1312其它一些类型，例如dxxxf211)(arctan，dxxxf211)(arcsin，dxeefxx)(例6求dxxxx221arctan分析此题先把被积函数写成拆成两项再进行积分较方便.解dxxxx221arctanxdxxarctan)111(2例7求dxexexx2)1(解dxexexx2)1(xxdeex2)1(11xexd例8求dxxx221解令txsin，则tdtdxcos例9求dxeexx21解令tex2，即txln2，dttdx2一花一叶5一叶一世界例10求dxxxx232)1(arctan解令txtan，tdtdx2sec例11求dxexxx22)11(解dxexxx22)11(dxexxxx222)1(21注：最后一步等号成立是因为可设21xex的一个原函数为)(xF，于是例12求dxxxxx)1()2(122解12)2()1()2(1222122xxDCxxBxBxAxxxx去分母后，再比较两边同次幂的系数得41A，1411B，196172B，498C，493D于是dxxxxx)1()2(122=dxxdxx2)2(14141dxxxxdxx)1(49)38()2(196172而dxxxxdxxxx1)283()12(2813822从而dxxxxx)1()2(122例13求dxxx527)1(解令txsin，tdtdxcosCxx428)1(8.例14求dxxx3cossin1分析对于三角函数有理式的积分，除了用“万能代换令2tanxu”之外，往往可考虑用前面一花一叶6一叶一世界的基本积分方法.解dxxx3cossin1=dxxxxx322cossincossin=dxxx3cossin+dxxxcossin1=-xdxcoscos13+xdxtantan1=x2cos21+xtanln+C.例15求dxxx2sin2sin解dxxx2sin2sin=dxxxxxx2sin2)cos(sin)cos(sin21=2122)cos(sin1)cos(sin)(sin3)cos(sinxxxxdcoxsxxxd==2)cos(sin1)cos(sin)cossin3)(cossin3()cos(sin21xxxxdxxxxxxd=)cosarctan(sin3cossin3cossinln32121xxxxxx+C.例16求dxxxxIsin3cos2sin1,dxxxxIsin3cos2cos2.解xdxII2123+1C由此得CxxxIsin3cos2ln321312.例17求dxx311解令tx31，23)1(tx，则dtttdx)1(632.dxx311dtttt)1(6132dttt)1(63Ctt253563235)1(3)1(56xxC.例18计算下列各题一花一叶7一叶一世界(1)dxxfxfxfxfxf32)]([)()()()(.(2)设xxf22tansin)2(cos，求)(xf.(3)设xxxf)1ln()(ln，求dxxf)(.(4)已知1cos)(sin2xxf且0)0(f，求dxxxf)(sincos.解(1)原式=dxxfxfxfxfxf322)]([)()()]()[(=dxxfxfxfxfxfxf22)]([)()()]([)()(=])()([)()(xfxfdxfxf=Cxfxf2])()([21.(2)设tx2cos，则xxxxx22222coscos1cos1tansin=xx22cos)(cos1=22)2()2(1tt即22)2()2(1)(tttf.dxxxdxxfxf])2()2(1[)()(22'，即Cxxxf3)2(3121)(.(3)xxeexflnln)1ln()(ln,即有xxeexf)1ln()(.Ceexxx)1ln()1(.(4)xxxf22sin1cos)(sin，即2)(uuf，Cuuf331)(.由00)0(Cf，331)(uuf.一花一叶8一叶一世界xdxfdxxxfsin)(sin)(sincosxxdsinsin313Cx4sin121.例19设0sin0)(xxxxxf，求dxxf)(.解由于0)0()(lim0fxfx，可知)(xf在(,)上连续.因此)(xf的原函数一定存在，设)(xF为)(xf的一个原函数.因为)(xF可导，则)(xF必连续.0)(lim0xFx，1)(lim0xFx.)(xF在0x处连续，即有101.则)(xf的一个原函数为01cos021)(2xxxxxF.故01cos021)()(2xCxxCxCxFdxxf.