第九章-数项级数

湖南工学院教案用纸1P第九章数项级数§1数项级数的收敛性一、本次课主要内容级数的收敛与发散概念；收敛性必要条件；收敛级数的性质二、教学目的与要求明确认识级数是研究函数的一个重要工具；无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；理解解数项级数，级数的基本性质。三、教学重点难点1.数项级数的概念与收敛的转化；2.数项级数的性质的理解与运用。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P81（7），（8）P82（1），（3）湖南工学院教案用纸2P一．概念：1．级数：级数，无穷级数;通项(一般项,第项),前项部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为.2.级数的敛散性与和:介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时,.级数收敛;时,级数发散;时,,,级数发散;时,,,级数发散.综上,几何级数当且仅当时收敛,且和为(注意从0开始).例2讨论级数的敛散性.解（利用拆项求和的方法）例3讨论级数的敛散性.解设,,=湖南工学院教案用纸3P,.,.因此,该级数收敛.例4讨论级数的敛散性.解,.级数发散.3.级数与数列的关系:对应部分和数列{},收敛{}收敛;对每个数列{},对应级数,对该级数,有=.于是,数列{}收敛级数收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式.4.级数与无穷积分的关系:,其中.无穷积分可化为级数;对每个级数,定义函数,易见有=.即级数可化为无穷积分.湖南工学院教案用纸4P综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二.级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则.Th(Cauchy准则)收敛和N,.由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项,不会影响级数的敛散性.但在收敛时,级数的和将改变.去掉前项的级数表为或.(级数收敛的必要条件)收敛.例5证明级数收敛.证显然满足收敛的必要条件.令,则当时有应用Cauchy准则时，应设法把式||不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，确定.例6判断级数的敛散性.湖南工学院教案用纸5P(验证.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7(但级数发散的例)证明调和级数发散.证法一(用Cauchy准则的否定进行验证)证法二证明{}发散.利用已证明的不等式.即得，.三．收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1收敛，—Const收敛且有=(收敛级数满足分配律)性质2和收敛，收敛,且有=.问题:、、三者之间敛散性的关系.性质3若级数收敛,则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变.(收敛数列满足结合律)例8考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.该例的结果说明什么问题?教学后记：湖南工学院教案用纸6P湖南工学院教案用纸7P第九章数项级数§2上极限与下极限一、本次课主要内容数列上极限与下极限概念以及相应运算二、教学目的与要求使学生理解上下极限概念。了解上极限和下极限的运算。三、教学重点难点1.上下极限的概念。2.上下极限的运算。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P162（2），3（2），4湖南工学院教案用纸8P一上、下极限的定义:下面用两种方法定义上极限与下极限。1.用极限点定义上、下极限:定义9.2.1称数列的收敛子列的极限为数列的极限点，即设是数列,是一个实数.若对中的无穷多个项属于邻域,则称实数是数列的一个极限点。定义1分别称数列的极限点集的最大值H和最小值h为数列的上极限和下极限,记为有。2用所谓“半边极限”观念定义上、下极限:定义2称实数H(或h)为数列的上(或下)极限是指:在邻域内有数列的无穷多项,且在该邻域的右侧(或左侧)仅有数列的有限项二：上下极限的运算性质（见书本）教学后记：湖南工学院教案用纸9P第九章数项级数§3正项级数（1）一、本次课主要内容正项级数的比较判别方法，Cauchy判别法。二、教学目的与要求掌握正项级数的比较与柯西判别法。三、教学重点难点1.比较判别法。2.柯西判别法。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P271（4）（6）湖南工学院教案用纸10P一.正项级数判敛的一般原则:1.正项级数:↗;任意加括号不影响敛散性.2.基本定理:Th1设.则级数收敛.且当发散时有,.(证)3.正项级数判敛的比较原则:Th2设和是两个正项级数,且时有,则ⅰ,;ⅱ=,=.(ⅱ是ⅰ的逆否命题)例1考查级数的敛散性.解有例2设.判断级数的敛散性.推论1(比较原则的极限形式)设和是两个正项级数且,则ⅰ时,和共敛散;ⅱ时,,;湖南工学院教案用纸11Pⅲ时,=,=.(证)推论2设和是两个正项级数,若=，特别地，若～,，则=.例3判断下列级数的敛散性:⑴;(～);⑵;⑶.二.正项级数判敛法:1．检比法：亦称为D’alembert判别法.Th3设为正项级数,且及时ⅰ若,;ⅱ若,=.证ⅰ不妨设时就有成立,有依次相乘,,即.由,得,.ⅱ可见往后递增,.湖南工学院教案用纸12P推论(检比法的极限形式)设为正项级数,且.则ⅰ,;ⅱ或=,=.(证)註倘用检比法判得=,则有.检比法适用于和有相同因子的级数,特别是中含有因子者.例4判断级数的敛散性.解,.例5讨论级数的敛散性.解.因此,当时,;时,;时,级数成为,发散.例6判断级数的敛散性.注意对正项级数，若仅有，其敛散性不能确定.例如对级数和,均有，但前者发散,后者收敛.2.检根法(Cauchy判别法):也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.湖南工学院教案用纸13PTh4设为正项级数,且及,当时,ⅰ若,;ⅱ若,=.(此时有.)(证)推论(检根法的极限形式)设为正项级数,且.则,;,=.(证)检根法适用于通项中含有与有关的指数者.检根法优于检比法.例7研究级数的敛散性.解,.例8判断级数和的敛散性.解前者通项不趋于零,后者用检根法判得其收敛.教学反思：湖南工学院教案用纸14P第九章数项级数§3正项级数（2）一、本次课主要内容正项级数的达朗贝尔判别方法，积分判别法。二、教学目的与要求掌握正项级数的达朗贝尔与积分判别法。三、教学重点难点1.达朗贝尔判别法。2.积分判别法。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P271（8）（10）湖南工学院教案用纸15P一：积分判别法：Th5设在区间上函数且↘.则正项级数与积分共敛散.证对且.例1讨论级数的敛散性.解考虑函数0时在区间上非负递减.积分当时收敛,时发散.级数当时收敛,时发散.时,,级数发散.综上,级数当且仅当时收敛.例2讨论下列级数的敛散性:（1）;（2）.二：直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时,常用下列不等式:⑴.湖南工学院教案用纸16P⑵对,有.⑶;特别地,有,.⑷时,有.⑸.⑹充分大时,有.例1判断级数的敛散性.解时,,(或).……例2判断级数的敛散性,其中.解时,有;时,.例3设数列有界.证明.证设.例4设且数列有正下界.证明级数.湖南工学院教案用纸17P证设.例5.若,则.证;又.例6设.若级数和收敛,则级数收敛.例7设.证明⑴,,;⑵和之一或两者均发散时,仍可能收敛;⑶,,.证⑴充分大时,.⑵取.⑶.三.利用同阶或等价无穷小判敛:例8判断下列级数的敛散性:⑴;⑵;⑶;湖南工学院教案用纸18P⑷;⑸.例9判断下列级数的敛散性:⑴;⑵.註设正项级数的通项为的有理分式.当为的假分式时,由于,;若为的真分式,倘用检比法,必有.有效的方法是利用等价无穷小判别法.例10设函数在点有连续的二阶导数,且.试证明:⑴若,则级数发散.⑵若,则级数收敛.解把函数在点展开成带二阶Lagrange型余项的Maclaurin公式,有,介于与之间.⑴若,则当充分大时不变号,可认为是同号级数.有∽,发散.湖南工学院教案用纸19P⑵若注意到在点连续,在点的某邻域内有界,设,有||=.,收敛.如例10所示，当时，常用Maclaurin公式确定的等价无穷小.例11判断级数的敛散性,其中且.解四．利用级数判敛求极限：原理:常用判定级数收敛的方法证明或.例12证明.例13证明.例14设↘.若,.证对,由,有,即;湖南工学院教案用纸20P,即.于是,时总有.此即.教学反思：湖南工学院教案用纸21P第九章数项级数§4任意项级数一、本次课主要内容级数的柯西收敛准则以及Leibniz，Abel，Dirichlet判别法；级数的绝对收敛以及条件收敛；加法结合律以及柯西乘法二、教学目的与要求掌握任意项级数的A-D判别法，其他方法了解。三、教学重点难点1.Leibniz，Abel，Dirichlet判别法。2.条件收敛；加法结合律以及柯西乘法。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P441（8）（10）湖南工学院教案用纸22P一.交错级数:交错级数,Leibniz型级数.Th1(Leibniz)Leibniz型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同,并有.证(证明部分和序列的两个子列和收敛于同一极限.为此先证明递增有界.),↗;又,即数列有界.由单调有界原理,数列收敛.设...由证明数列有界性可见,.余和亦为型级数,余和与同号,且.例1判别级数的敛散性.解时,由Leibniz判别法,收敛;时,通项,发散.二.绝对收敛级数及其性质:1.绝对收敛和条件收敛:以Leibniz级数为例,先说明收敛绝对收敛.Th2(绝对收敛与收敛的关系),收敛.证(用Cauchy准则).湖南工学院教案用纸23P一般项级数判敛时,先应判其是否绝对收敛.2.绝对收敛级数可重排性:⑴同号项级数：对级数，令则有ⅰ和均为正项级数,且有和;ⅱ,.⑵同号项级数的性质:Th3ⅰ若，则，.ⅱ若条件收敛,则,.证ⅰ由和,ⅰ成立.ⅱ反设不真,即和中至少有一个收敛,不妨设.由=,=以及和收敛,.而,,与条件收敛矛盾.⑶绝对收敛级数的可重排性:更序级数的概念.Th4设是的一个更序.若,则,且=.湖南工学院教案用纸24P证ⅰ若，则和是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,,,且和相等.ⅱ对于一般的,=,=.正项级数和分别是正项级数和的更序.由,据Th1,和收敛.由上述ⅰ所证,有,,且有=,=,=.由该定理可见,绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢?回答是肯定的.Th5(Riemann)若级数条件收敛,则对任意实数(甚至是),存在级数的更序,使得=.证以Leibniz级数为样本,对照给出该定理的证明.关于无穷和的交换律,有如下结果:ⅰ若仅交换了级数的有限项,的敛散性及和都不变.ⅱ设是的一个更序.若,使在中的项数不超过,则和共敛散,且收敛时和相等.三.型如的级数判敛法：湖南工学院教案用纸25P1．Abel判别法：引理1（分部求和公式，或称Abel变换）设和（）为两组实数.记.则.证注意到,有.分部求和公式是离散情况下的分部积分公式.事实上,.可见Abel变换式中的相当于上式中的,而差相当于,和式相当于积分.引理2(Abel)设、和如引理1.若单调,又对,有，则.证不妨设↘.湖南工学院教案用纸26P.系设↘,().和如.有.(参引理2证明)Th7(Abel判别法)设ⅰ级数收敛，ⅱ数列单调有界.则级数收敛.证(用Cauchy收敛准则,利用Abel引理估计尾项)设,由收敛,对时,对,有.于是当时对有.由Cauchy收敛准则,收敛.2.Dirichlet判别法:Th8(Dirichlet)设ⅰ级数的部分和有界,ⅱ数列单调趋于零.则级数收敛.证设,则,对,有湖南工学院教案用纸27P.不妨设↘0,对.此时就有.由Cauchy收敛准则,收敛.取↘0,,由Dirichlet判别法,得交错级数收敛.可