六年级奥数第8次课：----圆与扇形(教师版)

1【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】圆与扇形一、考点、热点回顾五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。圆的周长、面积计算公式：cd或2cr2sr半圆的周长、面积计算公式：crd212sr扇形的周长、面积：2360acdr2360asr如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。二、典型例题：例1、如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）2分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为πR-πr＝π（R-r）＝3.14×1.22≈3.83（米）。即外道的起点在内道起点前面3.83米。例2、有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是360°，所以BC弧所对的圆心角是60°，6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长=5×6＋5×3.14＝45.7（厘米）。例3、左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4个半圆（即2个圆）的面积之和，为（2r）2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257（厘米2）。例4、草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？3分析与解：如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，所以羊活动的范围是例5、右图中阴影部分的面积是2.28厘米2，求扇形的半径。分析与解：阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。所以，扇形的半径是4厘米。4例6、右图中的圆是以O为圆心、径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。分析与解：解此题的基本思路是：从这个基本思路可以看出：要想得到阴影部分S1的面积，就必须想办法求出S2和S3的面积。S3的面积又要用下图的基本思路求：现在就可以求出S3的面积，进而求出阴影部分的面积了。5S3=S4-S5=50π-100（厘米2），S1=S2-S3=50π-（50π-100）=100（厘米2）。三、习题巩固1、直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米。如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达B1，C1点；再绕B1点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C1点分别到达A2，C2点。求C点经C1到C2走过的路径的长。2、下页左上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是多少厘米？解：大圆直径是6厘米，小圆直径是2厘米。阴影部分周长是6π+2π×7=62.8（厘米）。3、一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见右上图），绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积。解：如下页右上图所示，可分为半径为4米、圆心角为300°的扇形与两个半径为1米、圆心角为120°的扇形。面积为6解：设∠CAB为n度，半圆ADB的半径为r。由题意有解得n=60。5、右上图是一个400米的跑道，两头是两个半圆，每一半圆的弧长是100米，中间是一个长方形，长为100米。求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。6、左下图中，正方形周长是圆环周长的2倍，当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？7、右上图中，圆的半径是4厘米，阴影部分的面积是14π厘米2，求图中三角形的面积。7解：圆的面积是42π=16π（厘米2），空白扇形面积占圆面积的1-的等腰直角三角形，面积为4×4÷2=8（厘米2）。四、习题练习1、如下图，在大圆中截取一个面积最大的正方形，然后在正方形中截取一个面积最大的圆。已知正方形的面积为20cm2，求大圆和小圆的面积各是多少平方厘米？2、有一个等腰直角三角形ABC，它的直角边AB＝1dm，将B点固定，让三角形按顺时针方向绕B点旋转90°，得到右面的图形，求斜边在旋转过程中扫过的面积(即图中的阴影部分)。3、左下图中，阴影部分的面积是5.7cm2，△ABC的面积是多少平方厘米？(第八届《小学生数学报》数学竞赛题)ACB45°ACB45°4、右图中以O为圆心的圆，半径是10cm。以C为圆心，AC为半径画一圆弧，求阴部部分的面积。(1998年广东省小学数学竞赛题)85、如图，在直角三角形ABC中，∠A＝60°，以A为圆心，以AC为半径画弧与AB相交于D，如果图中阴影部分的面积为6πcm2，那么AB的长是多少厘米？6、如图，大圆的直径为4cm，求阴影部分的面积。7、下图中的圆半径OA＝9cm，∠1＝∠2＝15°，求阴影部分的面积。8、如图，把OA8等分，以O为圆心画出6个扇形，已知最小的扇形是10cm2，求阴影部分的面积。9、图中的半圆直径AB是3cm，把半圆绕A点逆时针旋转60°，求阴影部分的面积。ADOBC910、图中C、D把半圆弧三等分,直径AB＝12cm,求阴影部分的面积。11、图中ABCD是平行四边形,AD＝8cm,AB＝10cm,∠DAB＝30°，高CH＝4cm，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，阴影部分的面积是多少平方厘米？(2001年全国奥赛决赛题)12、如图所示，正方形ABCD的边长是12cm，已知DE与EC长度的比是1∶2，求阴影部分的面积。13、图中,阴影部分的面积是50cm2,求环形的面积。14、如图，OA、OB分别是小圆的直径，并且OA＝OB＝6cm，∠BOA＝90°阴影部分的面积是多少平方厘米？(2001年全国奥赛预赛题)CDABABOOABCDEF1015、一个半圆形区域的周长等于它的面积，这个半圆的半径是多少？(2001年全国奥赛决赛题)16、下图中，平行四边形ABCD的面积是40cm2，△COB(阴影部分)的面积是多少平方厘米？ABDOC