应用多元统计分析课后答案朱建平版

第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)pXXXX的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是12(,,)pXXXX的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。2.2设二维随机向量12()XX服从二元正态分布，写出其联合分布。解：设12()XX的均值向量为12μ，协方差矩阵为21122212，则其联合分布密度函数为1/212221121122221221211()exp()()22fxxμxμ。2.3已知随机向量12()XX的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()dcxabaxcxaxcfxxbadc其中1axb，2cxd。求（1）随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；（2）随机变量1X和2X的协方差和相关系数；（3）判断1X和2X是否相互独立。（1）解：随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dxcdcxabaxcxaxcfxdxbadc12212222222()()2[()()2()()]()()()()ddccdcxaxbaxcxaxcdxbadcbadc121222202()()2[()2()]()()()()ddccdcxaxbatxatdtbadcbadc22121222202()()[()2()]1()()()()dcdcdcxaxbatxatbadcbadcba所以由于1X服从均匀分布，则均值为2ba，方差为212ba。同理，由于2X服从均匀分布2121,()0xxcdfxdc其它，则均值为2dc，方差为212dc。（2）解：随机变量1X和2X的协方差和相关系数；12cov(,)xx12121212222[()()()()2()()]22()()dbcadcxabaxcxaxcabdcxxdxdxbadc()()36cdba1212cov(,)13xxxx（3）解：判断1X和2X是否相互独立。1X和2X由于121212(,)()()xxfxxfxfx，所以不独立。2.4设12(,,)pXXXX服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。解：因为12(,,)pXXXX的密度函数为1/21111(,...,)exp()()22ppfxxΣxμΣxμ又由于21222pΣ22212pΣ212122111pΣ则1(,...,)pfxx211/22222121221111exp()()221pppΣxμΣxμ222123111222212()()()1111exp...2222pppppxxx2121()1exp()...()22piipiiixfxfx则其分量是相互独立。2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为1ˆniinμXX1ˆ()()niiinΣXXXX35650.0012.33ˆ17325.00152.50μX201588000.0038900.0083722500.00-736800.0038900.0013.06716710.00-35.80ˆ83722500.0016710.0036573750.00-199875.00-736800.00-35.800-199875.0016695.10Σ注：利用11pnn1XX,S1()nnnn11XIX其中1001nI在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：1.选择菜单项Analyze→DescriptiveStatistics→Descriptives，打开Descriptives对话框。将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。图2.1Descriptives对话框2.单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。图2.2Options子对话框3.单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。表2.1样本均值向量在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下：1.选择菜单项Analyze→Correlate→Bivariate，打开BivariateCorrelations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。图2.3BivariateCorrelations对话框2.单击Options按钮，打开Options子对话框。选择Cross-productdeviationsandcovariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。图2.4Options子对话框3.单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，PearsonCorrelation为皮尔逊相关系数矩阵，SumofSquaresandCross-products为样本离差阵。）2.6渐近无偏性、有效性和一致性；2.7设总体服从正态分布，~(,)pNXμΣ，有样本12,,...,nXXX。由于X是相互独立的正态分布随机向量之和，所以X也服从正态分布。又111()nnniiiiiEEnEnnXXXμμ2211111()nnniiiiiDDnDnnnΣXXXΣ所以~(,)pNXμΣ。2.8方法1：11ˆ()()1niiinΣXXXX111niiinnXXXX11ˆ()()1niiiEEnnΣXXXX111niiiEnEnXXXX111(1)11ninnnnnΣΣΣΣ。方法2：1()niiiSX-X)(X-X1((niiiX-μXμ)X-μXμ)11()()2()()()nniiiiinX-μX-μX-μX-μXμ)(XμXμ1()()2()()niiinnX-μX-μXμ)(XμXμ)(Xμ1()()()niiinX-μX-μXμ)(Xμ11()()()()11niiiEEnnnSX-μX-μXμ)(Xμ11()()()1niiiEnEnX-μX-μXμ)(XμΣ。故1nS为Σ的无偏估计。2.9.设(1)(2)()nX,X,...,X是从多元正态分布~(,)pNXμΣ抽出的一个简单随机样本，试求S的分布。证明：设******()***111ijnnnΓ为一正交矩阵，即ΓΓI。令12n12nΖ=(ΖΖΖ)=XXXΓ，(1,2,3,4,),iniXΓ由于独立同正态分布且为正交矩阵所以12()n独立同正态分布。且有11nniinΖΧ，11()()nniiEEnnΖΧμ，()VarnZΣ。1()()(1,2,3,,1)naajjjEEranΖΧ11najjnnrμ10najnjinrrμ1()()naajjjVarVarrΖΧ2211nnajjajjjrVarrΧΣΣ所以121nΖΖΖ独立同(0,)NΣ分布。又因为1()()njjiSXXXX1njjjnXXXX因为1111nniinniinnnnnnXXXXZZ又因为nnnjjjXXXXXXXX212111212nnXXXXXΓΓX1212nnZZZZZZ所以原式nnnjjjnnnjjjZZZZZZXX111122...nnnnZZZZZZ-ΖΖ故11njjjS，由于121,,,nZZZ独立同正态分布(0,)pNΣ，所以11~(1,)njjpjWnS2.10.设()iiXnp是来自(,)piiNμΣ的简单随机样本，1,2,3,,ik，（1）已知2...k1μμμμ且2...k1ΣΣΣΣ，求μ和Σ的估计。（2）已知2...k1ΣΣΣΣ求2,,...,,k1μμμ和Σ的估计。解：（1）11121ˆ...ankaiaiknnnμxx，1112ˆ...ankaaiiaiknnnxxxxΣ(2)1ln(,,,)kLμμΣ2111ln()exp[]2anknpaaiaiaai2-1Σ(x-μ)Σ(x-μ)1111ln()ln()ln222ankaaiaiaainLpn2-1μ,ΣΣ(x-μ)Σ(x-μ)21111ln(,)1()()022ankaaiaiaaiLnμΣΣXμXμΣΣ11ln(,)()0(1,2,...,)jnjijjijLjkμΣΣXμμ解之，得11ˆjnjjijijnμxx，1112ˆ...jnkjjjiknnnijijxxxxΣ第三章3.1试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。其基本思想和步骤均可归纳为：答：第一，提出待检验的假设和H1；第二，给出检验的统计量及其服从的分布；第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。均值向量的检验：统计量拒绝域均值向量的检验：在单一变量中当2已知0()Xzn/2||zz当2未知0()XtnS/2||(1)ttn（2211()1niiSXXn作为2的估计量）一个正态总体00Hμμ：协差阵Σ已知212000()()~()TnpXμΣXμ220T协差阵Σ未知2(1)1~(,)(1)npTFpnpnp2(1)npTFnp（2100(1)[()()]TnnnXμSXμ）两个正态总体012Hμμ：有共同已知协差阵2120()()~()nmTpnmXYΣXY220T有共同未知协差阵2(2)1~(,1)(2)nmpFTFpnmpnmpFF（其中21(2)()()nmnmTnmnmnm