第六章-套利定价理论

第六章套利定价模型本章主要问题：•掌握金融市场均衡的特殊机制－－无风险套利均衡机制•了解套利机制•掌握无套利均衡下的证券收益与风险的关系学习重点：•要点是要掌握套利定价理论蕴含的金融市场特殊均衡机制和证券收益与风险的关系•第一节套利定价理论的假设和逻辑起点•第二节套利定价理论的模型•第三节套利及套利的发生引言•上世纪五十年代后期，Modiglianih和Miller在研究企业资本结构和企业价值的关系（即所谓的MM理论）是提出的“无套利（No-Arbitrage)”分析方法，使得现代金融学的研究方法完全从经济学中独立出来，使现代金融理论的真正的方法革命！西方主流经济学研究的基本方法是供给和需求的均衡分析，着眼点常常在均衡的存在和均衡的变动情况。而现代金融研究的核心研究就是无套利均衡分析（严格意义上应称为“无套利机会的均衡分析”）：利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险利润的行为称为套利(arbitrage)。套利行为需要同时进行等量证券的买卖，以便从其价格关系的差异中获取利润。套利概念是资本市场理论的核心：当市场均衡时无套利机会；当市场处于不均衡状态时，价格偏离了由供需关系所决定的价值，此时就出现了套利的机会，而套利力量将会推动市场重建均衡，市场一恢复均衡，套利机会就消失。•资本资产定价模型(CAPM)给出了证券市场曲线(SML)，一种以来表示的期望收益与风险之间的关系。在本章讨论的套利定价理论(arbitragepricingtheory,APT)也规定了一种期望收益与风险之间的关系，但它运用了不同的假设和方法。我们利用充分分散化的投资组合来对这种关系做一番考察，以证明一要素组合是满足资本资产定价模型的期望收益-关系的。第一节套利定价理论的假设和逻辑起点一、套利的概念•套利是指没有净投资却能得到净收益的行为，是由于价格的暂时失衡而无风险的套取利润的活动。套利的一个重要特点是无风险性，即赚钱的可能性是100%的。•第一类套利：如果一种投资能够立即产生正的收益而在将来不需要任何支付(不管是正的还是负的)。•第二类套利：如果一种投资有非负的成本,但是将来,获得正的收益的概率为正。•当市场处于不均衡状态时，套利机会就出现了，投资者可以构造一个能产生安全利润的零投资证券组合。要构造零投资证券组合，投资者必须能够卖空至少一项资产，然后再去购买(做多头)一项或多项资产。借入可视为一种无风险资产的空头头寸。显然，任何投资者在套利资产组合中都愿意尽可能大地拥有这一头寸。•套利的机会：当一价法则被违反时，就会出现明显的套利机会。当一项资产以不同的价格在两个市场进行交易时（在这里价格差异超过了交易成本），在这两个市场进行同步交易则可作到无需任何投资便获得安全利润（即净价格差），要作的只是将该资产在高价市场卖出同时在低价市场买入。这项净收益是正的，并且由于多头与空头头寸的互相抵消而不存在风险。•例子：让我们从一个违反一价法则的简单例子出发，进入到一个不太明显但仍然有利可图的套利机会中来。假定在一个有四类不同环境的经济中只有四种股票在进行交易。对于每类通货膨胀-利率环境下四种股票的收益率情况参见表1。四种股票的当前价格和收益率的统计数字参见表2。表1：计划的收益率表2：统计的收益率表3A、B、C三种股票等权重资产组合的收益率和股票D的收益率根据上表进而计算出股票组合和股票D的预期收益率、标准差和相关系数。这时，通过观察，投资机会就很显著。预期收益率标准差相关系数三种股票的组合25.83%6.40%0.94股票D22.25%8.58%假设我们作300000股股票D的空头，然后用300万美元购买股票A、B、C各100000股。那么各种情况下的美元利润如下：•表中第一列证明了净投资为零。但这个组合在任何情况下均可产出正利润，它是一棵摇钱树。因此，投资者愿意对这个资产组合拥有尽可能多的头寸，因为大量的拥有头寸并没有损失的风险，又可带来不断增长的利润。理论上，哪怕只有一个投资者拥有这样的大量头寸，市场也会对买卖压力作出反应：股票D价格下跌同时股票A、B、C的价格上涨，或者只有股票D价格下跌或只有股票A、B、C的价格上涨，这样，套利机会就被消除了。•问题1在每股收益不变的条件下，假定股票D价格开始下跌，至少要跌多少才能使股票D与股票A、B、C的等权重资产组合之间的套利机会不存在（提示：考虑此时作股票D的空头，然后再购买等权重资产组合，所能买得的数量有什么变化）？•1.在利润最少的情况下可得到10000美元利润，等权重资产组合四种情况的总资金量为700000美元。当股票D的价格下跌时，空头出售所得可以购买的等权重资产组合的数量会少些。当股票D的价格下跌程度大于因素10000/700000时，套利不再可行，因为在最差的情况下利润将会低于零。•请看，假定股票D的价格跌到10美元×(1-1/70)，作为30万股的空头可获得2957142美元的收入，这允许投资者在作多头的全体股票中每一种投资985714美元，在高实际利率、低通胀率的情况下，可得到的利润为零：•当股票D的价格一旦低于10美元×(1-1/70)＝9.857美元时，利润就为负，这意味着套利机会已消除。9.857美元不是股票D的均衡价格，很简单，限制股票D的价格上涨会使简单套利机会消失。我们必须认识清楚：排除无风险套利机会重建市场价格均衡与收益—风险权衡关系建立市场价格均衡这二者之间的区别：收益—风险权衡关系所主导的市场价格均衡，一旦价格失衡，就会有许多投资者调整自己的投资组合来重建市场均衡，但每位投资者只对自己的头寸做有限范围的调整。套利则不然，一旦出现套利机会，每一位套利者都会尽可能大地构筑套利头寸。因此，从理论上讲，只需要少数几位（甚至在理论上讲只需一位）套利者就可以重建市场均衡。二．套利定价理论的假设条件分析我们把套利模型的假设条件和CAPM模型的假设条件作个比较，可以得到APT模型和CAPM模型共同拥有的以下假设：•存在着大量投资者，投资者是价格的接受者，单个投资者的交易行为对证券价格不发生影响（无操纵市场）。•投资者追求期望效应最大化•没有交易成本。而APT模型不需要以下的假设条件：–单一投资期–不存在税的问题–投资者能以无风险利率自由地借入和贷出资金–投资者以回报率的均值和方差选择投资组合–投资者的风险态度三．套利定价理论模型的逻辑起点――因素模型与充分分散风险的投资组合•斯蒂芬·罗斯（StephenRoss）在1976年发展了套利定价理论我们将从他的模型的简单形式入手，该形式假定只有单个系统因素影响证券的收益。1.因素模型在套利定价理论中，我们将先从考察一个单因素模型入手，这个模型假设只有单个系统因素影响证券的收益。资产收益的不确定性来自两个方面：共同或宏观经济因素（系统风险）和厂商的特别动机（非系统风险）•如果我们用F表示共同因素期望值的偏差，βi表示厂商i对该因素的敏感性，εi表示厂商特定的扰动，则该单因素模型表明厂商的实际收益等于其初始期望收益加上一项由未预料的整个经济事件引起（零期望值）的随机量，再加上另一项由厂商特定事件引起（零期望值）的随机量。其公式为：ri=E(ri)+βiF+εi•双因素模型的公式为：1122itiitititRFF2.充分分散风险的投资组合假如一个投资组合是充分分散风险的，那它的厂商特定风险或非系统风险可以被分散掉，保留下来的只有因素（系统）风险。我们把充分分散的投资组合定义为：满足按比例分散持有足够大数量的证券组合，而每种证券i的数量又小到可以使非系统方差被忽略掉。3、套利模型（APT）的假设描述•总结：APT的假设条件：–市场是完全竞争、无摩擦的；–投资者是非满足的：当投资者具有套利机会时，他们会构造套利证券组合来增加自己的财富；–所有投资者有相同的预期：任何证券i的回报率满足K因素模型；–因素模型中的扰动项，相互独立，且与其余所有因素不相关；–市场上的证券的种类远远大于因素的数目K。•APT的实质（无套利假设）：•因素模型说明所有具有等因素敏感度的证券或证券组合除去非因素风险外，具有相同的期望收益。因此所有具有等因素敏感度的证券或证券组合的期望回报率是一样的。否则就存在套利机会，投资者就会利用它们，直到消除这些套利机会为止。•第二节套利定价理论的模型－－单因素模型向多因素模型推广一、单因素套利定价模型•现在我们假定风险市场投资组合是形成回报率的单一因素，即风险市场组合看作一个充分分散化的投资组合，再以风险市场组合未预期到的收益作为系统风险的度量。•再看图5-2，市场投资组合的β值为1，由于市场投资组合也在图中的曲线上，我可以用它来决定该曲线的方程。如图5-3表示，曲线的截距为,斜率为，该曲线的方程为：PFMFPrrErrE])([)(•因此，图5-2和5-3的关系和资本资产定价模型的证券市场曲线关系是一致的。•在没有严格的CAPM假设的情况下，我们已经用无套利条件得到期望收益－贝塔之间的关系等同于其在CAPM中的关系。这表明，即便没有CAPM的严格假设，CAPM的主要结论，即证券市场曲线期望收益－贝塔关系，至少是基本有效的。单个资产与套利定价理论•我们已经证明，如果由充分分散化的投资组合引起对套利机会的排除，则市场均衡，且每个资产组合的期望收益一定与其β值成正比。如对任意两个充分分散化的组合有•[E（rp）－rf]/βp=[E（rQ）－rf]/βQ=K•套利定价理论要告诉我们的是，对于组合中的任意两项不同的证券来说，同样的关系式几乎也都成立。我们略过证明的过程，直接给出结论：如果所有的充分分散化的组合满足这种关系，则所有单个证券也满足这种关系。即对组合中任意两个证券i与j有•[E（ri）－rf]/βp=[E（rj）－rf]/βQ=K•且E（ri）=rf+βiK•将无套利条件加在一个单一要素市场上，这意味着期望收益－贝塔关系对所有充分分散化的投资组合及所有单个证券都成立。•套利定价理论提供了与资本资产定价模型相同的作用。它提供了一个可用于资本预算，证券评估或投资业绩评估的收益率的基本点。此外，套利定价理论强调了以风险溢价形式取得收益的不可分散化风险（即系统风险）与可分散化风险之间的重大区别。单因素APT模型：•假设存在一个无风险资产，这样的资产具有一个为常数的预期收益率，因而其对因素无敏感性。从下式可以看出：•对任何的资产均有。从而对无风险资产，，这说明。从而该方程式可以改写为：11ifIRr11iiR10i0iRifRr0fr•对于，我们可以考察一个纯因素组合（purefactorportfolio），用表示，该组合对因素具有单位敏感性，意味着，从而得出的值（对于多因素模型，可以将这个组合构造为使得其对其他因素无敏感性）。这样的组合具有如下的预期收益率：•这个方程式可以改写为：1*p*1p1*1fpRr*1fpRr•于是是单位敏感性的组合的预期超额收益率（即高出无风险利率的那部分预期收益率）。它也被称作因素风险溢价（factorriskpremium）。用表示对因素有单位敏感性的组合的预期收益率，则：•继而得到套利定价理论中定价方程式的第二种形式：1*1pR*1pR11fr11()iffiRrr二、多因素的套利定价理论•两个宏观因素的模型是这样的•ri＝E（ri）＋βi1F1＋βi2F2＋ei•假设因素F1代表对GDP预期值的偏离，因素F2则代表末预期到的通货膨胀率的变化，它们的预期值都等于零，因为它们代表的都是对预期值的偏离。同样ei代表企业特有的风险，也是对预期值的偏离，所以预期值也为零。•因素组合是非系统风险已经充分分散化而消除掉的组合，对其中一个因素的β值为1而对其他因素的β值都为0。•现在来看任意一个充分分散化的投资组合A，它对两个宏观因素的值分别是βA1=0.5和βA2=0.75。多因素的套利定价理论指出，投资组合A的总的风险补偿应当是投资者承受这两种宏观因素的系统风险所应得到的风险补偿的和。而每种宏观因素的系