专题二：三角函数-三角恒等变换-平面向量-解三角形2015.1.9

专题二：三角函数，三角恒等变换，平面向量，解三角形菁优网©2010-2015菁优网专题二：三角函数，三角恒等变换，平面向量，解三角形2015.1.9一．选择题（共11小题）1．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③2．（2014•包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称3．（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）4．（2014•广西）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b5．（2015•重庆一模）函数y=sin3x的图象可以由函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位得到B．向左平移个单位得到C．向右平移个单位得到D．向左平移个单位得到6．（2015•惠州模拟）函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）菁优网©2010-2015菁优网A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增8．（2014•博白县模拟）已知sinα+cos（α﹣）=，则cos（α﹣）的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．9．（2014•江西二模）已知，，则cosα=（）A．B．C．或D．10．（2014•重庆）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0C．3D．11．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．3二．填空题（共9小题）12．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于_________．13．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于_________．14．（2014•江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=_________．15．（2014•广安一模）设向量，若向量与向量共线，则λ=_________．16．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为_________．菁优网©2010-2015菁优网17．（2012•江苏）设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为_________．18．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=_________．19．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是_________．20．（2014•广西）函数y=cos2x+2sinx的最大值为_________．三．解答题（共6小题）21．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．22．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．23．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．24．（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．25．（2015•河南二模）已知向量=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），•=cos2C，其中A、B、C为△ABC的内角．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若AB=6，且，求AC、BC的长．26．（2014•重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．菁优网©2010-2015菁优网（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．菁优网©2010-2015菁优网专题二：三角函数，三角恒等变换，平面向量，解三角形参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．2．（2014•包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称考点：正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．解答：解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．菁优网©2010-2015菁优网它的对称轴方程可以是：x=；所以A，C错误；函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误；D正确．故选D点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．3．（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）考点：余弦函数的单调性．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．故选：D点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．4．（2014•广西）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b考点：正切函数的单调性．菁优网版权所有专题：三角函数的求值．分析：可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．解答：解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a故选：C点评：本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．5．（2015•重庆一模）函数y=sin3x的图象可以由函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位得到B．向左平移个单位得到C．向右平移个单位得到D．向左平移个单位得到考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有专题：计算题．菁优网©2010-2015菁优网分析：由于函数y=sin3x=cos3（x﹣），故把函数y=cos3x的图象向右平移个单位，即可达到目标．解答：解：由于函数y=sin3x=cos（3x+）=cos（3x﹣）=cos3（x﹣），故把函数y=cos3x的图象向右平移个单位，即可得到y=cos3（x﹣）=sin3x的图象，故选A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．6．（2015•惠州模拟）函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象可得，代入周期公式求得ω的值，再由五点作图的第二点列式求得φ的值．解答：解：由图知，∴T=π，即=π，解得：ω=2．由五点作图的第二点可知，2×+φ=，即φ=﹣，满足|φ|＜，∴ω，φ的值分别是2，﹣．故选：A．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解φ的值，是基础题．7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函菁优网©2010-2015菁优网数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．8．（2014•博白县模拟）已知sinα+cos（α﹣）=，则cos（α﹣）的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．考点：两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：首先，根据sinα+cos（α﹣）=，借助于两角差的余弦公式展开，然后，借助于辅助角公式，化简后，得到结果．解答：解：∵sinα+cos（α﹣）=，∴sinα+cosαcos+sinαsin=，∴sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）=，∴cos（α﹣）=，∴cos（α﹣）=，故选：B．点评：本题属于中档题，重点考查了三角恒等变换公式，注意公式的应用是解题的关键．9．（2014•江西二模）已知，，则cosα=（）A．B．C．或D．菁优网©2010-2015菁