三角函数恒等变换

高三数学第二轮专题三角函数恒等变换江门一中余伟光高考定位三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；往年高考三角函数公式考点整合题型归类：热点一三角恒等变换及应用【例1】(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值.解(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan（α＋β）1＋tan2αtan（α＋β）＝－211.探究提高1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围，避免产生增解.【训练1】(1)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6(2)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.①求sin(α＋π)的值；②若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值.答案C(1)解析由α，β为锐角，则－π2α－βπ2，由sin(α－β)＝－1010，得cos(α－β)＝31010，又sinα＝55，所以cosα＝255，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×－1010＝22.所以β＝π4.(2)解∵由角α的终边过点P－35，－45，且|OP|＝1，∴sinα＝－45，cosα＝－35，①所以sin(α＋π)＝－sinα＝45.②由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－5665或cosβ＝1665.真题演练1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.感谢同学们的聆听ThanksforListening