高等代数经典课件

第一章多项式§1数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P就称为一个数域.显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q、R、C来代表.全体整数组成的集合就不是数域.如果数的集合P中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P中，就说数集P对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P就称为一个数域.例1所有具有形式2ba的数（其中ba,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q来表示这个数域.例2所有可以表成形式mmnnbbbaaa1010的数组成一数域，其中mn,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,mjnibaji是整数.例3所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.§2一元多项式一、一元多项式定义2设n是一非负整数，形式表达式0111axaxaxannnn,(1)其中naaa,,,10全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式.在多项式（1）中，iixa称为i次项，ia称为i次项的系数.以后用),(),(xgxf或,,gf等来表示多项式.注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.定义3如果在多项式)(xf与)(xg中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么)(xf与)(xg就称为相等，记为)()(xgxf.系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.在（1）中，如果0na，那么nnxa称为多项式（1）的首项，na称为首项系数，n称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(xf的次数记为))((xf.二、多项式的运算设0111)(axaxaxaxfnnnn0111)(bxbxbxbxgmmmm是数域P上两个多项式，那么可以写成niiixaxf0)(mjjjxbxg0)(在表示多项式)(xf与)(xg的和时，如mn，为了方便起见，在)(xg中令011mnnbbb，那么)(xf与)(xg的和为niiiinnnnnnxbabaxbaxbaxbaxgxf00011111)()()()()()()(而)(xf与)(xg的乘积为001001111)()()()(baxbabaxbabaxbaxgxfmnmnmnmnmn其中s次项的系数是sjijissssbababababa011110所以)(xf)(xg可表成smnssjijixbaxgxf)()()(0.显然，数域P上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域P上的多项式.对于多项式的加减法，不难看出)))(()),((max())()((xgxfxgxf.对于多项式的乘法，可以证明，若0)(,0)(xgxf，则0)()(xgxf，并且))(())(())()((xgxfxgxf由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.多项式的运算满足以下的一些规律：1.加法交换律：)()()()(xfxgxgxf.2.加法结合律：))()(()()())()((xhxgxfxhxgxf3.乘法交换律：.)()()()(xfxgxgxf4.乘法结合律：))()()(()())()((xhxgxfxhxgxf5.乘法对加法的分配律：)()()()())()()((xhxfxgxfxhxgxf6.乘法消去律：若)()()()(xhxfxgxf且0)(xf，则)()(xhxg.定义4所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为][xP，P称为][xP的系数域.§3整除的概念在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.一、整除的概念带余除法对于][xP中任意两个多项式)(xf与)(xg，其中0)(xg，一定有][xP中的多项式)(),(xrxq存在，使)()()()(xrxgxqxf(1)成立，其中))(())((xgxr或者0)(xr，并且这样的)(),(xrxq是唯一决定的.带余除法中所得的)(xq通常称为)(xg除)(xf的商，)(xr称为)(xg除)(xf的余式.定义5数域P上的多项式)(xg称为整除)(xf，如果有数域P上的多项式)(xh使等式)()()(xhxgxf成立.用“)(|)(xfxg”表示)(xg整除)(xf，用“)(|)(xfxg”表示)(xg不能整除)(xf.当)(|)(xfxg时，)(xg就称为)(xf的因式，)(xf称为)(xg的倍式.当0)(xg时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.定理1对于数域P上的任意两个多项式)(xf，)(xg，其中0)(xg，)(|)(xfxg的充要条件是)(xg除)(xf的余式为零.带余除法中)(xg必须不为零.但)(|)(xfxg中，)(xg可以为零.这时0)(0)()()(xhxhxgxf.当)(|)(xfxg时，如0)(xg，)(xg除)(xf的商)(xq有时也用)()(xgxf来表示.二、整除的性质1.任一多项式)(xf一定整除它自身.2.任一多项式)(xf都能整除零多项式0.3.零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.4.若)(|)(),(|)(xfxgxgxf，则)()(xcgxf,其中c为非零常数.5.若)(|)(),(|)(xhxgxgxf，则)(|)(xhxf（整除的传递性）.6.若rixgxfi,,2,1),(|)(，则))()()()()()((|)(2211xgxuxgxuxgxuxfrr,其中)(xui是数域P上任意的多项式.通常，)()()()()()(2211xgxuxgxuxgxurr称为)(,),(),(21xgxgxgr的一个组合.由以上性质可以看出，)(xf与它的任一个非零常数倍)0)((cxcf有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，)(xf常常可以用)(xcf来代替.最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若)(xf，)(xg是][xP中两个多项式，P是包含P的一个较大的数域.当然，)(xf，)(xg也可以看成是][xP中的多项式.从带余除法可以看出，不论把)(xf，)(xg看成是][xP中或者是][xP中的多项式，用)(xg去除)(xf所得的商式及余式都是一样的.因此，若在][xP中)(xg不能整除)(xf，则在][xP中，)(xg也不能整除)(xf.例1证明若)()(|)(),()(|)(2121xfxfxgxfxfxg，则)(|)(),(|)(21xfxgxfxg例2求lk,，使1|32kxxlxx.例3若)(|)(),(|)(xhxgxfxg，则)()(|)(xhxfxg.§4多项式的最大公因式一、多项式的最大公因式如果多项式)(x既是)(xf的因式，又是)(xg的因式，那么)(x就称为)(xf与)(xg的一个公因式.定义6设)(xf与)(xg是][xP中两个多项式.][xP中多项式)(xd称为)(xf，)(xg的一个公因式,如果它满足下面两个条件：1）)(xd是)(xf与)(xg的公因式；2）)(xf，)(xg的公因式全是)(xd的因式.例如，对于任意多项式)(xf，)(xf就是)(xf与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.引理如果有等式)()()()(xrxgxqxf(1)成立，那么)(xf，)(xg和)(xg，)(xr有相同的公因式.定理2对于][xP的任意两个多项式)(xf，)(xg，在][xP中存在一个最大公因式)(xd，且)(xd可以表成)(xf，)(xg的一个组合，即有][xP中多项式)(),(xvxu使)()()()()(xgxvxfxuxd.(2)由最大公因式的定义不难看出，如果)(),(21xdxd是)(xf，)(xg的两个最大公因式，那么一定有)(|)(21xdxd与)(|)(12xdxd，也就是说0),()(21cxcdxd.这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用（)(xf，)(xg）来表示首项系数是1的那个最大公因式.定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(divisionalgorithm).例设343)(234xxxxxf32103)(23xxxxg求（)(xf，)(xg），并求)(),(xvxu使)()()()()(xgxvxfxuxd.注：定理2的逆不成立.例如令1)(,)(xxgxxf,则122)1)(1()2(2xxxxxx.但1222xx显然不是)(xf与)(xg的最大公因式.但是当(2)式成立，而)(xd是)(xf与)(xg的一个公因式，则)(xd一定是)(xf与)(xg的一个最大公因式.二、多项式互素定义7][xP中两个多项式)(xf，)(xg称为互素（也称为互质）的，如果1))(),((xgxf显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.定理3][xP中两个多项式)(xf，)(xg互素的充要条件是有][xP中多项式)(),(xvxu使1)()()()(xgxvxfxu.定理4如果1))(),((xgxf，且)()(|)(xhxgxf,那么)(|)(xhxf.推论1如果)(|)(),(|)(21xgxfxgxf，且1))(),((21xfxf,那么)(|)()(21xgxfxf.推论2如果1))(),((1xgxf,1))(),((2xgxf,那么1))(),()((21xgxfxf推广：对于任意多个多项式)2)((,),(),(21sxfxfxfs，)(xd称为)2)((,),(),(21sxfxfxfs的一个最大公因式，如果)(xd具有下面的性质：1）sixfxdi,,2,1),(|)(;2）如果sixfxi,,2,1),(|)(，那么)(|)(xdx.我们仍用))(,),(),((21xfxfxfs符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明)(,),(),(21xfxfxfs的最大公因式存在，而且当)(,),(),(21xfxfxfs全不为零时，))()),(,),(),(((121xfxfxfxfss就是)(,),(),(21xfxfxfs的最大公因式，即))(,),(),((21xfxfxfs=))()),(,),(),(((121xfxfxfxfss同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式sixui,,2,1),(,使))(,),(),(()()()()()()(212211xfxfxfxfxuxfxuxfxusss如果1))(,),(),((21xfxfxfs，那么)(,),(),(21xfxfxfs就称为互素的.同样有类似定理3的结论.注意1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如222)1()1(|1xxx,但22)1(|1xx,且22)1(|1xx.2)