从《解三角形》看教材与高考--之“有一条公共边的两个三角形”

从《解三角形》看教材与高考———之“有一条公共边的两个三角形”内蒙古阿拉善盟第一中学　　７５０３００　　张小琴　　必修五第一章《解三角形》是在初中学习了直角三角形边角关系和高中必修四学习了三角函数的基础上，进一步研究斜三角形中边与角的关系———正弦定理、余弦定理．这章以这两个定理为主体，进行解三角形的训练．在对本章进行教学与反思后，笔者发现这两个定理只是在研究三角形边角关系的基础上开出的鲜艳的“花朵”，而给这鲜艳花朵提供丰富营养的就是探究新问题时最常用的数学思想———化归思想，即将一般转化为特殊，将斜三角形转化为直角三角形，具体做法是做三角形的高，从而构造有一条公共高的两个直角三角形，而后在这两个直角三角形中，得到边与角的关系，再通过这条高衔接，从而得到原来的斜三角形中边角关系，即得到正余弦定理．再顺着这个思路纵深去考虑，为了得到一个斜三角形中边与角的关系，这条公共边不一定是高，还可以是其他的边，如：中线、角平分线等．再由特殊到一般去考虑，这条公共边也可以不是特殊的边，而是任意的边．因此，笔者将以上问题归结为一类问题，即“有一条公共边的两个三角形”，而且总结出解决这类问题的通法．下面一一作解．１　“公共边”为高的两个直角三角形１．１　正余弦定理的推导在一个直角三角形中观察出边与角Ａ，Ｂ，Ｃ满足ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ之后，猜想该结论是否在斜三角形中成立（Ｂ版教材，以下提到的课本都是Ｂ版教材）．证明的方法是过三角形的一个顶点作高，将锐角三角形和钝角三角形转化为有一条公共边的两个直角三角形，再分别在两个直角三角形中寻找边与角的关系，并通过公共边去衔接，即证得正弦定理．同样，余弦定理的证明过程也是如此．体现出将一般的斜三角形转化为特殊的直角三角形、将未知转化为已知的化归思想．１．２　实际测量的运用在实际测量中常需要构造有一条公共边的两个直角三角形，比如测量一个底部不能到达的建筑物的高度，如：在故宫护城河外测故宫一个角楼的高（Ｂ版１·２应用举例问题一），或者通过山顶的仰角测量山的高度，或者测量河堤的背水坡的倾斜角的大小（Ｂ版习题１－２Ａ的第２、第３题）．在这些问题中涉及到被测量物的高度，所以需要构造直角三角形，而构造一个直角三角形往往条件不够，所以需要构造以高为公共边的两个三角形．１．３　高考题中的频现基于理论的推导和现实中实际测量的需要，“公共边为高的两个直角三角形”也是近年高考中解三角形的高频考点．如２０１４年四川理科卷的１３题，也就是以Ｂ版教材Ｐ１５练习Ａ：２为原型出的一道题：图１如图１，从气球Ａ上测得正前方的河流的两岸Ｂ、Ｃ的俯角分别为６７°、３０°，此时气球的高度是４６ｍ，则河流的宽度ＢＣ约等于　　　　ｍ．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：ｓｉｎ６７°≈０．９２，ｃｏｓ６７°≈０．３９，ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｃｏｓ３７°≈０．８０，３≈１．７３）显然，可以在直角三角形ＡＤＢ中利用直角三角形中边角的关系求出ＡＢ的值，同理，再在三角形ＡＣＤ中求出ＡＣ的值，然后在△ＡＢＣ中利用余弦定理求ＢＣ．或者以ＡＢ为公共边，找到∠ＡＢＤ与∠ＡＢＣ互补的关系，根据内错角互补求∠ＡＢＤ的正弦值，进而求出∠ＡＢＣ的正弦值，再在△ＡＢＣ中应用正弦定理求解．图２再如：２０１４年课标Ⅰ高考文科卷的一道题：如图２，为测量山高ＭＮ，选择Ａ和另一座山的山顶Ｃ为测量观测点．从Ａ点测得Ｍ点的仰角∠ＭＡＮ＝６０°，Ｃ点的仰角∠ＣＡＢ＝４５°以及∠ＭＡＣ＝７５°；从Ｃ点测得∠ＭＣＡ＝６０°．已知山高ＢＣ＝１００ｍ，则山高ＭＮ＝　　　　ｍ．解本题时，先在Ｒｔ△ＡＭＮ中利用边角关系表达出边ＡＭ，同理在Ｒｔ△ＡＢＣ中求出边ＡＣ，再在△ＡＭＣ中１１中学数学杂志　２０１５年第１期　　　　　　　　　　　　　　　ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ　利用正弦定理就求出边ＡＭ的值．以上两道考题都属考试中的基础题，都是将直角三角形的边角关系与正余弦定理初步结合起来，进行简单的应用．显然通过作高将斜三角形转化为直角三角形，并通过高为衔接，进而解斜三角形中的边与角的关系，这是课本中体现的解决问题的方法，也是高考中要考查的对基础知识的运用能力．因此，需要引起师生们的关注．再纵深去考虑的话，不仅可以用高去衔接两个三角形，也可以通过中线和角平分线这样的特殊边去衔接两个三角形，去解三角形．２　“公共边”为中线和角平分线的两个斜三角形２．１　教材中的体现课本在得出正弦定理，并进行简单的边角运算之后就给出一个以角平分线为公共边的解三角形的问题．课本Ｐ５例２：如图３，在△ＡＢＣ中，∠Ａ的角平分线ＡＤ与边ＢＣ相交于点Ｄ，求证：ＢＤＤＣ＝ＡＢＡＣ．证明　令∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝β，令∠ＢＤＡ＝α，则∠ＣＤＡ＝１８０°－α．在△ＡＢＤ和△ＣＡＤ中，由正弦定理得ＢＤｓｉｎβ＝ＡＢｓｉｎα①，ＤＣｓｉｎβ＝ＡＣｓｉｎ（１８０°－α）＝ＡＣｓｉｎα②，由①ＢＤＡＢ＝ｓｉｎβｓｉｎα，由②ＤＣＡＣ＝ｓｉｎβｓｉｎα，等量代换得ＢＤＡＢ＝ＤＣＡＣ，再变形得ＢＤＤＣ＝ＡＢＡＣ．显然在本题中，公共边ＡＤ与边ＢＣ构成的两个角互补是衔接两个三角形△ＡＢＤ与△ＡＣＤ的关键．因为此时互补的两个角∠ＡＤＢ与∠ＡＤＣ的正弦值恰好相等．再分别在两个三角形△ＡＢＤ与△ＡＣＤ中用两次正弦定理，成功地将两个三角形的边衔接起来．图３　　　　　　　　图４下面再看以中线为“公共边”的题型：课本Ｐ１０习题１－１Ｂ：４．如图４，已知△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４３，ＡＣ＝２３，ＡＤ为ＢＣ边上的中线，且∠ＢＡＤ＝３０°，求ＢＣ的长．解　△ＢＤＡ中，ＢＤｓｉｎ３０°＝ＡＢｓｉｎ∠ＢＤＡ，△ＡＣＤ中，ＤＣｓｉｎ∠ＤＡＣ＝ＡＣｓｉｎ∠ＡＤＣ，又因为ＢＤ＝ＤＣ，ｓｉｎ∠ＢＤＡ＝ｓｉｎ∠ＡＤＣ，所以ＡＢ·ｓｉｎ３０°＝ＡＣ·ｓｉｎ∠ＤＡＣ．所以４３×１２＝２３·ｓｉｎ∠ＤＡＣ，所以ｓｉｎ∠ＤＡＣ＝１，所以∠ＤＡＣ＝９０°．△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝１２０°，ＡＢ＝４３，ＡＣ＝２３，由余弦定理得ＢＣ＝２２１．本题的解法与上一题的解法类似，只需要注意ＣＤ＝ＢＤ这个衔接条件．以上两题都是课本上的例题或习题，解法如出一辙，都是通过公共边去衔接两个三角形．显然这样的题型学生不能很快驾轻就熟，需要进一步的训练，因此，教材给出了课本Ｐ２０自测与评估第５题：已知ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，且ＡＣ＝２，ＡＢ＝３，∠Ａ＝６０°，求ＡＤ的长；以及课本Ｐ２０自测与评估第２题：在△ＡＢＣ中ｂ＝４，ｃ＝３，ＢＣ边上的中线ｍ＝２７２，求∠Ａ，ａ以及面积Ｓ；以及课本Ｐ２０自测与评估第４题：在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ中点，已知∠ＢＡＤ＋∠Ｃ＝９０°，试判断△ＡＢＣ的形状．以上三道题，都围绕公共边展开，但解法各异，这里不再赘述．图５２．２　高考中的考查（２０１３年浙江高考理科１６题）如图５，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｍ是ＢＣ的中点．若ｓｉｎ∠ＢＡＭ＝１３，则ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝　　　　．解　设ＢＣ＝２ａ，ＡＣ＝ｂ，则Ｒｔ△ＡＭＣ中ＡＭ＝ａ２＋ｂ２，Ｒｔ△ＡＢＣ中ＡＢ＝４ａ２＋ｂ２，ｓｉｎ∠ＡＢＭ＝ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝ＡＣＡＢ＝ｂ４ａ２＋ｂ２，法一　在△ＡＢＭ中，由正弦定理ＢＭｓｉｎ∠ＢＡＭ＝ＡＭｓｉｎ∠ＡＢＭ，即ａ１３＝ａ２＋ｂ２ｂ４ａ２＋ｂ２，解得２ａ２＝ｂ２，于是ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ＢＣＡＢ＝２ａ４ａ２＋ｂ２＝６３．法二　△ＡＢＭ中，由正弦定理ＢＭｓｉｎ∠ＢＡＭ＝ＡＢｓｉｎ∠ＡＭＢ，又因为∠ＡＭＢ＝１８０°－∠ＡＭＣ，所以ｓｉｎ∠ＡＭＢ＝ｓｉｎ∠ＡＭＣ．所以ＢＭｓｉｎ∠ＢＡＭ＝ＡＢｓｉｎ∠ＡＭＣ，而ｓｉｎ∠ＡＭＣ＝ｂＡＭ＝ｂａ２＋ｂ２，所以ａ１３＝４ａ２＋ｂ２ｂａ２＋ｂ２．解得２１　ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ　　　　　　　　　　　　　　　中学数学杂志　２０１５年第１期２ａ２＝ｂ２，于是ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ＢＣＡＢ＝２ａ４ａ２＋ｂ２＝６３．对比以上两种解法，显然解法一根据高为公共边衔接两个三角形，而解法二根据中线为公共边衔接两个三角形．由该题的解法可以看到“有一条公共边的两个三角形”的问题即一分为二，又合二为一．而且不管是解法一还是解法二，都不仅要用到直角三角形中的边角关系，还要用到斜三角形中的边角关系．因此这道题是一道别具匠心的好题．显然以上我们都在围绕“特殊”展开，公共边为高，中线，角平分线．那么我们下面再由特殊推广到一般，看看“公共边”并不是“特殊边”的情况．３　“公共边”并不是特殊边的两个斜三角形３．１　教材中的体现在实际测量中根据实际条件，公共边并不一定是特殊的边，如课本在１􀆰２应用举例问题２中，测量地面上两个不能到达的地方之间的距离———两海岛之间的距离．衔接两个斜三角形的公共边就是任意的一条图６边．这在高考试题中也有体现，如２００９年宁夏海南理科试卷１７题：为了测量两山顶Ｍ、Ｎ间的距离，飞机沿水平方向在Ａ、Ｂ两点进行测量，Ａ、Ｂ、Ｍ、Ｎ在同一个铅垂平面内（如示意图６），飞机能够测量的数据有俯角和Ａ、Ｂ间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算Ｍ，Ｎ间的距离的步骤．本题的模型完全来源于课本例题模型，仍是一道应用题，因为解三角形最终的归宿就是实际应用．该题对学生的要求较高，需要学生自主设计测量的方案，这也是对学生实际应用能力的考查，因此，看似简单学生不一定能驾驭．３．２　高考中的考查（２０１０年陕西文数１７题）如图７，在△ＡＢＣ中，已知∠Ｂ＝４５°，Ｄ是ＢＣ边上的一点，ＡＤ＝１０，ＡＣ＝１４，ＤＣ＝６，求ＡＢ的长．图７解　在△ＡＤＣ中，ＡＤ＝１０，ＡＣ＝１４，ＤＣ＝６，由余弦定理得ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝ＡＤ２＋ＤＣ２－ＡＣ２２ＡＤ·ＤＣ＝１００＋３６－１９６２×１０×６＝－１２，所以∠ＡＤＣ＝１２０°，∠ＡＤＢ＝６０°．在△ＡＢＤ中，ＡＤ＝１０，∠Ｂ＝４５°，∠ＡＤＢ＝６０°，由正弦定理得ＡＢｓｉｎ∠ＡＤＢ＝ＡＤｓｉｎＢ，ＡＢ＝ＡＤ·ｓｉｎ∠ＡＤＢｓｉｎＢ＝１０ｓｉｎ６０°ｓｉｎ４５°＝１０×３２２２＝５６．该题的解法与以中线、角平分线为公共边的各题的解法类似，仍是以∠ＡＤＢ与∠ＡＤＣ互补，去衔接两个三角形．该类考题频繁出现，下面一一陈述如：（２０１１年福建理１４）如图８，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝２，ＢＣ＝２３，点Ｄ在ＢＣ边上，∠ＡＤＣ＝４５°，则ＡＤ的长度等于　　　　；（２０１１年天津理６）如图９，在△ＡＢＣ中，Ｄ是边ＡＣ上的点，且ＡＢ＝ＣＤ，２ＡＢ＝３ＢＤ，ＢＣ＝２ＢＤ，则ｓｉｎＣ的值为　　　　；图８　　　　　图９　　　　　图１０（２０１０年全国卷２理数１７）△ＡＢＣ中，Ｄ为边ＢＣ上的一点，ＢＤ＝３３，ｓｉｎＢ＝５１３，ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝３５，求ＡＤ．（２０１４年北京理数１６）如图１０，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝π３，ＡＢ＝８，点Ｄ在边ＢＣ上，且ＣＤ＝２，ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝１７．（１）求ｓｉｎ∠ＢＡＤ；（２）求ＢＤ，ＡＣ的长．为什么高考围绕该知识点频繁出题？数学来源于生活，又应用于生活，它最终的落脚点还是实际应用，下面请看以“有一条公共边的两个三角形”为载体的一道实际应用题：某观测点Ｃ在目标Ａ的南偏西２５°方向，从Ａ出发有一条南偏东３５°走向的公路，在Ｃ处测得与Ｃ相距３１ｋｍ的某人在Ｂ点处正沿此公路向Ａ走去，走２０ｋｍ到达Ｄ，此时测得ＣＤ＝２１ｋｍ，求此人在Ｄ处距Ａ还有多少千米．解　如图１１，在△ＢＤＣ中，ＣＤ＝２１，ＢＤ＝２０，ＢＣ＝３１，由余弦定理得，ｃｏｓ∠ＢＤＣ＝－１７，在△ＡＤＣ中，ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝ｃｏｓ（π－∠ＢＤＣ）＝１７，ｓｉｎ∠ＡＣＤ＝ｓｉｎ（∠ＣＡＤ＋∠ＡＤＣ）＝ｓｉｎ（６０°＋∠ＡＤＣ）＝５３１４，由正３１中学数学杂志　２０１５年第１期　　　　　　　　　　　　　　　ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ　弦定理：ＡＤｓｉｎ∠ＡＣＤ＝ＣＤｓｉｎ∠ＣＡＤ，得ＡＤ＝１５．显然，以上问题，都是一些特殊情况，让我们把眼界放的更宽一些，我们可以看到更一般的实际应用：图１１　　　　　　　　图１２如图１２，在海岸Ａ处，发现北偏东４５°方向，距Ａ为（３－１）ｎｍｉｌｅ的Ｂ处有一艘走私船，在Ａ处北偏西７５°方向，距Ａ为