2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第13讲 函数模型及其应用

了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题．8函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识．一般而言，有以下种函数模型：2(0)(0)(0)(001)xfxkxbkbkkfxbkbkxfxaxbxcabcafxkabkabkaa①一次函数模型：、为常数，；②反比例函数模型：、为常数，；③二次函数模型：、、为常数，，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的；④指数型函数模型：、、为常数，，且；log(001)(00)“”(0)“”“”anfxmxnmnamaafxaxbabnanfxxkk⑤对数型函数模型：、、为常数，，且；⑥幂函数型模型：、、为常数，，；⑦勾函数模型：为常数，，这种函数模型应用十分广泛，因其图象是一个勾号，故我们把它称之为勾函数模型；⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．1.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值为()A.3cm2B．23cm2C．33cm2D．43cm2【解析】设长为12cm的细铁丝截成xcm和(12－x)cm的两截，两正三角形面积之和为S，其中0x12，则S＝34·(x3)2＋34·(12－x3)2＝38(x2－12x＋72)＝318[(x－6)2＋36]．所以，当x＝6时，S取最小值，Smin＝23，故面积之和的最小值为23cm2，选B.2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A．y＝2x－2B．y＝12(x2－1)C．y＝log2xD．y＝(12)x【解析】将各组数据代入验证，选B.3.2006年6月30日到银行存入a元，若年利率为x，且按复利计算，到2012年6月30日可取回本息共计(A)A．a(1＋x)6元B．a(1＋x)7元C．a(1＋x6)D．[a＋(1＋x)6]元4.某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时，销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件()A．100元B．110元C．150元D．190元【解析】设定价x元，销售量为1000－5(x－100)＝1500－5x件，其中x≥100，利润为y，则y＝(x－80)(1500－5x)＝－5x2＋1900x－120000＝－5(x2－380x)－120000＝－5(x－190)2＋60500.所以当x＝190时，y取最大值，故选D.5.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每年生产单位产品成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是2500万元，此时单位产品数Q为300.【解析】L(Q)＝k(Q)－10Q－2000＝－120Q2＋30Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500.所以当Q＝300时，L(Q)max＝2500.一已知函数模型解决实际应用问题【例1】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的流量y(百辆∕小时)与汽车的平均速度v(千米∕小时)之间的函数关系为：y＝920vv2＋3v＋1600(v0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？(精确到0.1百辆∕小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10百辆∕小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【分析】(1)已知车流量与平均速度之间的函数关系式，只需解决函数取最值的条件及所取最大值，由数学问题的解答，得实际结论；(2)由y10解不等式，得实际结论．【解析】(1)依题意得y＝920v＋1600v＋3(v0)，又t＝v＋1600v≥2v·1600v＝80，当且仅当v＝1600v，即v＝40时，t取最小值80，所以y有最大值，为ymax＝92083≈11.1(百辆∕小时)．(2)若要求y10，即920vv2＋3v＋160010，又v2＋3v＋16000恒成立，化简整理得v2－89v＋16000，即(v－64)(v－25)0，所以25v64.答：(1)当汽车的平均速度为40千米∕小时时，车流量最大，最大车流量约为11.1百辆∕小时．(2)当汽车平均速度在25千米∕小时至64千米∕小时之间时，车流量超过10百辆/小时．【点评】已知函数模型的实际问题，关键是根据函数特点与实际要求，解决相关数学问题，确定实际结论．【例2】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知销售价格5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【分析】(1)已知部分变量关系模型，可根据已知数据求参数．(2)进一步建立利润与销售价格之间的函数关系，根据函数求最大利润及获得条件，注意利润＝销售收入－成本．【解析】(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，单位商品利润为(x－3)元/千克，所以商场每日销售该商品所获得利润f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2(3x6)．从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－6)(x－3)]＝30(x－6)(x－4)．所以当x∈(3,4)时，f′(x)0；当x∈(4,6)时，f′(x)0，所以f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当x＝4时，f(x)有最大值，且[f(x)]max＝f(4)＝42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【点评】已知函数模型求参数时，关键是根据题设条件建立方程求解；另外要注意实际问题中定义域对最值的影响．(1)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(116)t－a(a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：素材1①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝10t0≤t≤0.1116t－0.1t0.1；②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．(2)某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(x∈N*)的关系式为y＝－x2＋12x－25，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为()A．2B．4C．5D．6【解析】(1)①当0≤t≤0.1时，函数图象是线段y＝10t(0≤t≤0.1)；当t0.1时，函数图象是指数函数y＝(116)t－a；当t＝0.1时，由1＝(116)0.1－a，得a＝0.1.所以y＝10t0≤t≤0.1116t－0.1t0.1.②由y＝(116)t－0.1≤0.25，得2t－0.2≥1，则t≥0.6，所以至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．(2)平均利润yx＝－x2＋12x－25x＝12－(x＋25x)≤12－10＝2，当且仅当x＝25x，即x＝5时，等号成立，故选C.二根据实际关系建立函数模型解实际问题【例3】如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(ab)，在边AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？求这个最大面积．【分析】要确定四边形EFGH的面积最值，关键是建立该面积与x之间的函数关系，四边形EFGH的面积为矩形ABCD面积减去4个三角形面积．【解析】设四边形EFGH的面积为S，由题意得S△AEH＝S△CGF＝12x2，S△BEF＝S△DHG＝12(a－x)(b－x)，其中0x≤b，所以S＝ab－2[12x2＋12(a－x)(b－x)]＝－2x2＋(a＋b)x＝－2(x－a＋b4)2＋a＋b28(0x≤b)．故当a＋b4≤b，即ba≤3b时，x＝a＋b4，Smax＝a＋b28.当a＋b4b，即a3b时，函数在(0，b]上递增，则x＝b时，Smax＝－2b2＋(a＋b)b＝ab－b2.答：若ba≤3b，则x＝a＋b4时，四边形EFGH面积最大为a＋b28，若a3b，则x＝b时，四边形EFGH面积最大为ab－b2.【点评】根据实际意义合理建立函数模型，特别注意实际问题，自变量取值对函数最值的影响．【例4】已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗，为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗员工人数不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－81100x)万元；当待岗员工人数超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润0.9595万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？【分析】(1)问题分两种情况，一是待岗员工人数不超过原有员工人数的1%，一是超过原有员工人数的1%，且不超过原有员工人数的5%；(2)企业所获利润为留岗人员所创总利润减去待岗人员的生活补贴．【解析】设重组后待岗员工人数为x，且0≤x≤100，留岗人数为(2000－x)，该企业年利润为f(x)万元，因为2000×1%＝20，所以当0x≤20且x∈N时，f(x)＝(2000－x)(3.5＋1－81100x)－0.5x＝－5(x＋324x)＋9000.81因为x≤2000×5%，所以x≤100，所以20x≤100且x∈N时，y＝(2000－x)(3.5＋0.9595)－0.5x＝－4.9595x＋8919，所以y＝－5x＋324x＋9000.810x≤20且x∈N－4.9595x＋891920x≤100且x∈N.当0x≤20时，有y＝－5(x＋324x)＋9000.81≤－5×2324＋9000.81＝8820.81，当且仅当x＝324x，即x＝18时取等号，此时y取得最大值．当20x≤100时，函数y＝－4.9595x＋8919为减函数，所以y－4.9595×20＋8919＝8819.81.综上所述，当x＝18时，y有最大值8820.81万元．即要使企业利润最大，应安排18名员工待岗．答：安排18人待岗，则企业年利润最大为8820.81万元．【点评】解决实际问题，关键是建立数学模型，求与最值有关的实际问题一般与函数模型有关，求解时，要根据问题中的数量关系与等量关系建立函数关系，然后求解函数最值．分段函数注意分段求最值，然后比较各段最值，确定问题最值．素材2(1)已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数关系式是()A．x＝60tB．x＝60t＋50C．x＝60t0≤t≤2.5150