2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第17讲 任意角的三角函数

123()．了解任意角的概念．．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．．理解任意角的三角函数正弦、余弦、正切的定义．___________1__________.2__________.3__________.4______________1OAOBOBx角可以看成平面内一条射线①从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，②叫做角的始边，射线叫做角的终边．按角的旋转方向把角分为③若角的始边与轴的非负半轴重合，则按角的终边的位置把角分为④与角的终边相同的角的集合为⑤与角的终边所在直线相同的角的．角的概念集：合为⑥____________1__________1||;(2)318018011()1802radrllrradradrad⑦叫做弧度的角，用符号表示；即若半径为的圆的圆心角所对弧的弧长为，则数学上把以弧度作单位度量角的单位制叫做弧度制．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零．　角度制与弧度制的换算公式：，，．弧度制22()11||36022||3.180RlnnRSlRRnRlR若扇形的半径为，弧长为，圆心角为或弧度，则扇形的面积．扇形的面积公式与弧长公式公式有；扇形的弧长公式：22()()0sin_______()cos_______()tan________()245()aPxyOOPrxykkRRZ已知角终边上任意一点，原点除外，记，那么任意角的三角函数的定义为：⑧；．三角函数的定义．三角函数值在各象限的符⑨；⑩，．一全正，二正弦，三正切，号口诀：四余弦． {|360}{|180}OOASkkSkkyxyrrxZZ①绕着端点；②射线；③正角、负角、零角；④象限角、坐标轴角；⑤，；⑥，；⑦把长度等于半径长的弧所对【要点指南】的圆心角；⑧；⑨；⑩1.设集合E＝{x|x是小于90°的角}，F＝{x|x是锐角}，G＝{x|x是第一象限角}，M＝{x|x是小于90°，但不小于0°的角}，则下列关系成立的是(D)A．F⊆G⊆EB．F⊆E⊆GC．M⊆(E∩G)D．G∩M＝F2.将－885°化为α＋k·360°(0°≤α360°，k∈Z)的形式是(B)A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°3.若α＝5rad，则角α的终边所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】因为3π2α2π，故选D.4.设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数为2.【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，由l＋2r＝812lr＝4，得l＝4，r＝2，弧度数为lr＝2.5.角α的终边经过P(－4k,3k)(k0)，则cosα的值为45.【解析】r＝16k2＋9k2＝5|k|＝－5k(因为k0)，cosα＝xr＝－4k－5k＝45.一角的相关概念【例1】确定下列各角的终边所在的位置：(1)－1875°；(2)126π5.【解析】(1)因为－1875°＝－6×360°＋285°，所以－1875°与285°的终边相同，而285°是第四象限，故－1875°的终边在第四象限．(2)因为126π5＝12×2π＋6π5，所以126π5与6π5的终边相同，故126π5的终边在第三象限．【点评】要确定一个角的终边所在的位置，可先将此角表示成k·360°＋α(0°≤α360°)或2kπ＋α(0≤α2π，k∈Z)的形式，再由角α的终边所在的位置，确定此角终边所在的位置．若θ是第二象限的角，则π2－θ是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限素材1【解析】因为θ是第二象限角，且－θ与θ的终边关于x轴对称，所以－θ为第三象限的角．又π2－θ可以看成角，所以－θ的终边按逆时针方向旋转π2所得的角，故π2－θ是第四象限角，故选D.【点评】应特别注意旋转与“＋”“－”的关系．二三角函数的定义应用及象限符号【例2】(1)角α的终边上一个点P(4t，－3t)(t≠0)，求2sinα＋cosα的值；(2)已知角β的终边在直线y＝3x上，用三角函数定义求sinβ和tanβ的值．【分析】由题目的特点，可考虑利用三角函数的定义求解．【解析】(1)由题意，有x＝4t，y＝－3t，所以r＝4t2＋－3t2＝5|t|.当t0时，r＝5t，sinα＝－35，cosα＝45，2sinα＋cosα＝－65＋45＝－25；当t0时，r＝－5t，sinα＝35，cosα＝－45，2sinα＋cosα＝65－45＝25.(2)设(a，3a)(a≠0)是角β终边y＝3x上的一点，则tanβ＝3aa＝3.若a0，则β是第三象限角，r＝－2a，此时，sinβ＝3a－2a＝－32；若a0，则β是第一象限角，r＝2a，此时sinβ＝3a2a＝32.【点评】一般情况下，已知角的终边上的点(或所在的位置)可直接利用定义求解．角α的终边过点P(－8m，－6cos60°)，且cosα＝－45，则m的值是12.素材2【解析】由P(－8m，－3)和cosα＝－450可知，m0，r＝|OP|＝64m2＋9，cosα＝－8m64m2＋9＝－45，所以m2＝14，所以m＝12，故填12.【点评】本题由cosα0可得α在第三象限，得到P点的横坐标为负，从而m0.三扇形的弧长、面积和圆心角【例3】已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．【解析】设扇形的弧长为l，面积为S，由题意，l＋2R＝30，所以S＝12lR＝12(30－2R)R＝R(15－R)≤(R＋15－R2)2＝56.25.当且仅当R＝15－R，即R＝7.5时，面积最大，且Smax＝56.25，此时，圆心角α＝lR＝157.5＝2.【点评】这类问题主要是利用弧长，面积公式，找出扇形半径，圆心角，周长，面积的联系，建立相关的关系式．已知圆弧等于其所在圆的内接正三角形边长a，求其圆心角的弧度数及面积．素材3【解析】设圆弧长为l，半径为R，圆心角的弧度数为α.由题意，R＝23·32a＝3a3，所以S＝12lR＝12a·33a＝36a2，圆心角α＝lR＝a33a＝3.备选例题扇形AOB的圆心角∠AOB为90°，AB的长为l，求此扇形内切圆的面积．【解析】因为扇形AOB的圆心角∠AOB＝π2，AB的长为l，所以OA＝lπ2＝2lπ＝(2＋1)r，所以r＝2lπ2＋1＝2lπ(2－1)，所以S＝πr2＝12－82πl2.*21)211=(0,2)22akkkkkkakklrSrrrlN．已知的终边位置，确定，的终边的方法：先用终边相同的角的形式表示出角的范围，再写出或的范围，然后就的可能值讨论或的终边所在位置．．在弧度制下，弧长公式为，扇形面积公式为为圆心角，，为半径，为弧长，应用这些公式，一定要记住先把角统一为用弧度表示．有关最值问题，一般转化为求函数的最值，把所求问题表示成某一变量的函数，进而求得最值．3()().aPxyr．已知角终边上一点，该点不在单位圆上，求角的三角函数值时，可先求该点到原点的距离再利用三角函数定义及三角函数的符号规律解题，并且注意分类讨论．4.．熟记特殊角的三角函数值