2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第63讲 排列与组合综合应用问题

进一步理解排列、组合的概念，掌握排列、组合数公式；提高灵活应用排列、组合知识及其基本方法、技巧分析和解决有关应用问题的能力.1.求解排列与组合的综合应用题的三条途径(1)以①,先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素,即优元法.(2)以②,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置,即优位法.这两种方法都是③.(3)先不考虑附加条件，计算出所有排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数，即④.元素为分析对象位置为分析对象直接法间接法2.解排列、组合题的“十六字方针，十二个技巧”(1)“十六字方针”是解排列、组合题的基本规律,即⑤..(2)“十二个技巧”是解排列、组合题的捷径,即:相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合多排问题单排法；定序问题倍缩法；定位问题优先法；有序分配问题分步法；多元问题分类法；交叉问题集合法；至少(或至多)问题间接法；选排问题先取后排法；局部与整体问题排除法；复杂问题转化法.3.解答组合应用题的总体思路(1)⑥.从集合的意义讲,分类要做到各类的并集等于全集,以保证分类的不遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分类的不重复,计算结果是使用分类计数原理.(2)⑦.整体分类以后,对每一类进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证分步的不遗漏.同时步骤要独立,以保证分步的不重复.计算结果时用分步计数原理.整体分类局部分步(3)辩证地看待“元素”与“位置”.排列、组合问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，要视具体情况而定，有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好.1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有()A．24种B．18种C．12种D．6种【解析】有C23·A33＝18种不同种植法．2.某校高中二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案的种数为()A．A26C24B.12A26·C24C．A26A24D．2A26【解析】分两步：①把4名学生平均分成二组，有C242种分法；②把两组学生分配到六个班的两个班去，有A26种分法，所以共有方案12A26·C24种，故选B.【点评】先均匀分组再分配．3.从A、B、C、D、E五名学生中，选出四名学生参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，每人只参加一项竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．24B．48C．120D．72【解析】分选A和不选A二类情况，若不选A有A44种，若选A，应先选人有C11C34种，再排科目，A12A33种，故C11C34A12A33种．所以总方案为A44＋C11C34A12A33＝72.故选D.4.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()A．18对B．24对C．30对D．36对【解析】以三棱柱6个顶点中4个顶点为顶点的三棱锥共C46－3＝12个．每个三棱锥含三组对棱是三对异面直线，故共有36对异面直线，选D.5.用0,1,2，…，9十个数字组成五位数，其中含3个奇数字与2个偶数字且数字不同的五位数有11040.【解析】①含0的：有C35C14A44A14种；②不含0的：有C35C24A55种．共有C35C14A44A14＋C35C24A55＝11040个．一分组分配问题【例1】有6本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中1人一本，1人两本，1人三本；(3)平均分成三组，每组2本；(4)分给甲、乙、丙三人，每个人选2本．【解析】(1)分三步：先选一本有C16种选法；再从余下的5本中选两本有C25种选法；最后余下的三本全选有C33种选法．由分步计数原理知，分配方式共有C16·C25·C33＝60种．(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)的基础上，还应考虑再分配问题，分配方式共有C16·C25·C33·A33＝360种．(3)先分三步，则应是C26·C24·C22种方法，但是这里面出现了重复，不妨设六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26·C24·C22种方法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)(EF，AB，CD)，共A33种情况，而且这A33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方式有C26·C24·C22A33＝15种．(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方式C26·C24·C22A33·A33＝C26·C24·C22＝90种．【点评】平均分组问题应防止重复的情况，如{1,2}，{3,4}，{5,6}与{1,2}，{5,6}，{3,4}是同一分组．一般来说，km个不同元素分成k组，每组m个，则不同的分法有Cmkm·Cmk－1m…CmmAkk种．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务中的2项服务工作，如果要求至少有1名女生参加，且每项工作均由2人承担，那么不同的选派方案种数为84种．素材1【解析】先从6人中依题设选4人，有C12C34＋C22C24种，然后将4人平均分配承担2项工作，有C24C22种，共有(C12C34＋C22C24)C24C22＝84种．二数字排列和位置排列问题【例2】用0,1,2,3,4,5，组成没有重复数字的数：(1)能组成多少个六位数；(2)能组成多少个六位奇数；(3)能组成多少个能被5整除的六位数；(4)能组成多少个比240135大的数．【解析】(1)第一位不能是0，有A15种方法，其它各位有A55种方法，共有六位数的个数是A15A55＝600.(2)要使六位数为奇数，其个位数字必须是1或3或5，所以所求六位奇数的个数是A13A14A44＝288.(3)要使六位数能被5整除，个位数字必须是0或5，当个位数字是0时，有A55个；当个位数字是5时，有4A44个，因此，能被5整除的六位数的个数是A55＋4A44＝216.(4)要比240135大，首先必须是六位数，有以下几类：首位数是3或4或5时各有A55个；首位数字是2，第二位数字是4或5，但不包含240135在内，有2A44－1个，因此共有比240135大的数是3A55＋2A44－1＝407.【点评】排数字问题是排列组合中最常见的一种题型．这种问题应把握住在排数字时，如首位和末位等这些特殊的位置，如0,5，奇数，偶数等这些特殊的元素，我们需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线．例如第(1)小问，注意到0这一特殊的元素，它不能排在首位这一特殊的位置．解答中以位置优先，较易解决，但若以特殊元素为主，也可解决．这类问题还需注意排成的数是不是数字不充许重复的．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间间隔两人；(5)甲、乙站在两端；(6)甲不站在左端，乙不站在右端．素材2【解析】(1)方法1：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步计数原理，共有A14·A55＝480种站法．方法2：由于不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A25种站法，然后中间4人有A44种站法，根据分步计数原理，共有A25·A44＝480种站法．方法3：若对甲没有限制条件共有A66种法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A66－2A55＝480种站．(2)方法1：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，根椐分步计数原理，共有A55·A22＝240种站法．方法2：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A15种站法，最后让甲、乙全排列，有A22种方法，共有A44·A15·A22＝240种．(3)因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A25种，故共有站法为A44·A25＝480种．也可用“间接法”，6个人全排列有A66种站法，由(2)知甲、乙相邻有A55·A22＝240种站法，所以不相邻的站法有A66－A55·A22＝720－240＝480种．(4)方法1：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A22种，故共有A44·(3A22)＝144种站法．方法2：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A24种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A33种方法，最后对甲、乙进行排列，有A22种方法，故共有A24·A33·A22＝144种站法．(5)方法1：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步计数原理，共有A22·A44＝48种站法．方法2：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A44种站法，由分步计数原理共有A22·A44＝48种站法．(6)方法1：甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，共有A66－2A55＋A44＝504种站法．方法2：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端A55种，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A55＋A14·A44·A14＝504种站法．【点评】象这种带有限制条件的排位问题，一般都是对某个或某些元素加以限制的问题，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类题通常从三种途径考虑：①以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素；②以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置；③先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列．三几何型排列组合问题【例3】已知平面a∥β在a内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？【解析】(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定平面，有C24·C16个；③α，β本身，共2个．所以所作的平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个；所以最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．(3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥体积才能相等，两个条件缺一不可．所以体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．【点评】这是几何型排列组合合问题(1)要特别注意不要忘记平面α、β；(2)图形个数问题一般是组合问题，要注意共点、共线、共面等特殊情况，避免多算或少算．在正方体的八个顶点中，解答下列问题：(1)每两点可连成一条直线，则可连成多少条直线？(2)若每三点连成一个三角形，则可连成多少个不同的等腰直角三角形？(3)若以其中四点连成一个三棱锥，则可连成多少个不同的三棱锥？素材3【分析】本题是立体几何中组合计数问题，注意计数中的取法须满足题中的条件．【解析】(1)从八个点取两个连成直线的条数有C28＝28条．(2)由题意知，符合条件的等腰直角三角形应该在同一个表面上，正方体一个表面的四点可连成C34个三角形，这些都是等腰直角三角形，所以共有6×C34＝24个