微积分(数学分析)习题及答案.doc

统计专业和数学专业数学分析（3）练习题一填空题1.函数xyxyzarcsin的定义域是.2.函数yxz的定义域是.3.设)ln(),(22yxxyxf，其中0yx，则),(yxyxf.4.设yxxyyxyxftan),(22，则),(tytxf.5.设2RE为点集，则E在2R中至少有一个聚点.6.32),,(yzxyzyxf，则)1,1,2(gradf。7.xyzzxyu32在点)2,1,1(0P处沿方向l（其中方向角分别为00060,45,60）的方向导数为)(0Pul.8.,yxz其中,0x,0x则dz。9.函数),(yxf在),(00yx处可微，则dff。10.若函数),(yxf在区域D上存在偏导数，且,0yxff，则),(yxf在区域上为函数。11.由方程1(,)sin02Fxyyxy确定的隐函数)(xfy的导数'()fx.12.设243340xyxy,则dydx.13.平面上点P的直角坐标),(yx与极坐标),(r之间的坐标变换公式为.其雅可比行列式(,)(,)xyr.14.直角坐标),,(zyx与球坐标),,(r之间的变换公式为.其雅可比行列式(,,)(,,)xyzr.15.设平面曲线由方程0),(yxF给出,它在点),(000yxP的某邻域内满足隐函数定理的条件，则该曲线在点0P处存在切线和法线，其方程分别为切线：,法线：.16.设空间曲线由参数方程ttzztyytxxL),(),(),(:给出,它在点0000000(,,)((),(),())Pxyzxtytzt处的切线和法平面方程为切线：,法平面：.17.设空间曲线L由方程组(,,)0,(,,)0FxyzGxyz给出,若它在点0000(,,)Pxyz的某邻域内满足隐函数定理的条件，则该曲线在点0P处存在切线和法平面，其方程分别为切线：,法平面：.18.设曲面由方程0),,(Fzyx给出，它在点),,(0000zyxP的某邻域内满足隐函数定理条件，则该曲面在0P处有切平面与法线，它们的方程分别是切平面：,法线：.19.条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21nmmkxxxnk的限制下，求目标函数),,,(21nxxxfy的极值.其拉格朗日函数是,其中m,,,21为拉格朗日乘数.20.若(,)fxy在矩形区域R上连续,则对任何0,xab,都有0lim(,)dcxxfxydy.21.（可微性）若函数),(yxf与其偏导数),(yxfx都在矩形区域dcbaR,,上连续，则dcdyyxfxI),()(在ba,上可微，且(,)dcdfxydydx.22.（可微性）设),(),,(yxfyxfx在qpbaR,,上连续，xdxc,为定义在ba,上其值含于qp,内的可微函数，则函数)()(),()(xdxcdyyxfxF在ba,上可微，且'()Fx.23.(两个累次积分的关系)若),(yxf在矩形区域dcbaR,,上连续，则(,)bdacdxfxydy.24.含参量反常积分(,)cfxydy在ba,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列nA(其中cA1)，函数项级数在ba,上一致收敛.25.设有函数)(yg，使得.,),(),(ycbxaygyxf若cdyyg)(收敛，则cdyyxf),(在ba,上.26.（连续性）设),(yxf在,,cba上连续，若含参量反常积分cdyyxfxI),()(在ba,上，则)(xI在ba,上.27.（可微性）设),(yxf与),(yxfx在区域,,cba上连续。若cdyyxfxI),()(在ba,上，cxdyyxf),(在ba,上，则)(xI在ba,上可微，且'()Ix.28.含参量积分:()s,(,)Bpq,统称为欧拉积分，其中前者又称为格马（Gamma）函数（或写作函数①），后者称为贝塔（Beta）函数（或写作B函数）.29.函数有下列递推公式(1)s,则()n,12n.30.函数还有其它两种形式,它们是()s,和()s.31.B函数有下列递推公式(,)Bpq,(,)Bpq,(,)Bpq.32.B函数还有其它两种形式,它们是(,)Bpq,(,)Bpq.33.函数与B函数之间的关系是(,)Bpq.34．()Lxyds_________，其中L是以(0,0),(1,0),(0,1)OAB为顶点的三角形.35．222()Lxyzds______，其中L为螺旋线cos,sinxatyat,zbt(0t2)的一段.36．设L为抛物线22xy从(0,0)到(1,2)的一段，积分ydxxdyL=______.37．22Lxdxydyxy______，其中L为圆周22xy.依逆时针方向.38．Lxdxydyzdz______，其中L:从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段.39．设}|),{(22xyxyxD，则Ddxdyx__________40．设]1,0[]1,0[]1,0[V，则Vdxdydzzyx)(=__________41．D22dxdy)yx(f=__________,其中}|),{(222RyxyxD.42．由抛物线mxy2,nxy2)0(nm,直线xy,xy)0(所围的区域的面积是__________.43．dxdydzzyx)(222=______,其中为球}1|),,({222zyxzyx.44．()SxyzdS=_______,其中S是上半球面2222,0xyzaa.45．22()SxydS=_______,其中S为立体0,122azyx的边界曲面.46．22SdSxy=_______,其中S为柱面222Ryx被平面Hzz,0所截取的部分.47．设S为平面1zyx在第一卦限中的部分，则SzdS______.48．SxyzdS=_______,其中S为平面1zyx在第一卦限中的部分.1.0,0),(xyxyx；2.yxyxyx2,0,0),(；3.2ln()xy；4.),(2yxft；5.有界无限；6.)3,3,1(；7.5；8.1lnyyyxdxxxdy；9.()；10.常量；11.,2',2cosxyFxyfxFxyy；12.23322129dyyxydxxxy；13.cos,sinxryr，cossin(,)sincos(,)rxyrrr；14..cos,sinsin,cossinrzryrx0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin),,(),,(rrrrrrzyx2sin.r;15.000000(,)()(,)()0xyFxyxxFxyyy，.0))(,())(,(000000yyyxFxxyxFxy；16.000000,'()'()'()xxyyzzxtytzt000000'()()'()()'()()0xtxxytyyztzz；17.000000,,,,(,)(,)(,)PPPxxyyzzFGFGFGyzzxxy.0,),(,),(,),(000000zzyxGFyyxzGFxxzyGFPPP；．18.00000000),,())(,,(yyzyxFxxzyxFyx0),,(0000zzzyxFz，.),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx；19.121212121(,,,,,,,),,,,,,mnmnkknkLxxxfxxxxxx；20.0lim(,)dcxxfxydy；21.(,)dcfxydyx；22.()()(,)(,())'()(,())'()dxxcxfxydyfxdxdxfxcxcx；23.(,)dbcadyfxydx；24.11)(),(1nnnAAxudyyxfnn；25.一致收敛；26.一致收敛，连续；27.收敛，一致收敛，(,)xcfxydy；28.10,0sxxedxs，1110(1),0,0pqxxdxpq；29.()ss，(1)!n，13(21)2nn；30.212100()2(0)sxsysxedxyedys，1100()(0,0)sxsspysxedxpyedysp；31.)1,(11),(qpBqpqqpB),1,0(qp),1(11),(qpBqppqpB，),0,1(qp)1,1()2)(1()1)(1(),(qpBqpqpqpqpB，(1,1)pq；32.201212.cossin2),(dqpBpq，1110(,)(1)pqpqyyBpqdyy；33.()()()pqpq(0,0)pq；34．12；35.322228(2)3baba；36.2/3；37.0；38.13；39.8/15；40.3/2；41.)]0()([2fRf；42.2233111()6nm；43.45；44.3a；45.(21)2；46.2HR；47.36；48.3120。