14.1(2)第一课时 直角三角形的判定

2、直角三角形的判定•古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。其直角在第4个结处。•他们真的能够得到直角三角形吗？做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：3，4，5；7，24，25；8，15，17。（1）这三组数都满足222cba吗？（2）分别以这三组树为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？讲解点1勾股定理的逆定理若一个三角形的三边长为a、b、c，且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。并且c边所对的角是直角。问题：这个定理反过来怎么说？若Rt△ABC中，若∠C=900，则有a2+b2=c2勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系那么这个三角形是直角三角形.222cba能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。典例试判断下列各组数据中是否是直角三角形的三边？（1）a=1.5，b=2，c=3（2）a=7，b=24，c=25（3）a=6，b=8，c=10（4）a=3，b=4，c=5*（5）a=2n2+2n，b=2n+1，c=2n2+2n+11、由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是三角形（）2、由于0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（）辨一辨：评析：已知三角形，判断是否是直角三角形的步骤是：（1）先比较三边的大小，找出最大边；（2）计算两较小边的平方的和，看是否等于最大边的平方，若成立，是直角三角形，否则就不是。例1、已知△ABC三条边长分别为a,b,c,且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(mn，m,n是正整数)。△ABC是直角三角形吗？请说明理由.解：∵a=m2－n2，b=2mn，c＝m2＋n2∴a2+b2=(m2－n2)2+(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4＝c2∴△ABC是直角三角形当x为何值时，长为x，3，4的三条线段组成一个直角三角形。解：（1）当32+42=x2时，x=5；当32+x2=42时，x=由勾股定理的逆定理知道，当x=5或x=时，边长为x，3，4的三条线段组成直角三角形。77试一试：例2、已知△ABC的三条边长分别为a、b、c，且满足关系：2b(c+2b)+(2c+a)(2c-a)=3(b+c)2-4bc,试判断△ABC的形状，并说明理由.已知△ABC的三条边长分别为a、b、c，且满足关系：(a+b)2+c2=3ab+c(a+b),试判断△ABC的形状，并说明理由.例3、如图在△ABC中AB=4,BC=2,BD=1,CD=，判断下列结论是否正确，并说明理由：(1)CD⊥AB;(2)AC⊥BC3DACB解(1)∵BC2=BD2+CD2=4(2)∵AC2=AD2+CD2=12∴∠CDB=90°∴CD⊥ABAC2+BC2=16=AB2∴∠ACB=90°∴AC⊥BC根据勾股定理的逆定理根据勾股定理的逆定理1.正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上且DF=DC，试判断BE与EF的关系，并说明。41DABCEF解：EF⊥BE。理由如下设正方形的边长为4k，则AE=DE=2k，DF=k，FC=3k。在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2=(4k)2+(2k)2=20k2在Rt△DEF中，EF2=ED2+DF2=(2k)2+k2=5k2在Rt△CFB中，FB2=FC2+BC2=(3k)2+(4k)2=25k2在△BEF中，∵BE2+EF2=20k2+5k2=25k2=FB2根据勾股定理的逆定理知：∠BEF是直角，即EF⊥BE例4、如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°，求四边形ABCD的面积┐DBAC1、有一块田地的形状和尺寸如图所示，∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=5米，AD＝4米，试求它的面积。ABCD5∟42、有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。∟121334BCDA5请在下面正方形方格上作格点直角三角形，使三角形的任意两个顶点不在同一条实线上，且顶点必须在格点上。ABC◆在长30cm、宽50cm、高40cm的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？CDA.B.305040第一种情况305040CDA.B.ADCB3050408000408022图①CCDA.B.ACBD图②3040503040509000903022第二种情况CCDA.B.图③50ADCB40303040507400705022第三种情况归纳小结•勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．222abcacbABC(1)如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.•直角三角形的判定方法之一：作业