可逆矩阵及其逆矩阵求法的探究

关于可逆矩阵的逆矩阵求法的探究马盼舍(西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070)摘要:我们学习了可逆矩阵,老师告诉了三种求逆矩阵的方法,即定义法、伴随矩阵法和初等变换法.本文在此基础之上,根据不同的矩阵给出了高斯-约当法、关键字:Abstract:Keywords:1.可逆矩阵定义1设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使得AB=E,那么A称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵，记为1A.2.逆矩阵的求法1.定义法定义设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使得AB=E,那么A称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵，记为1A.例1.求矩阵121011322A的逆矩阵.解因为|A|≠0,所以1A存在.设33323123222113121113xxxxxxxxA,由定义知1AA=E,所以1210113223332312322211312113xxxxxxxx=100010001.由矩阵乘法得332313322212312111231322122111332313322212312111222322322322xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx=100010001.由矩阵相等可解得111312111xxx;654322212xxx;433332313xxx.故4613513411A2.伴随矩阵法定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且11211122221121nnnnnnAAAAAAAAAAA，其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A-1=1|A|A*.注①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=（Aji）n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122aaAaa，其伴随矩阵22122111*aaAaa,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵ABCD不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325，求A-1.【解】∵|A|=2≠0∴A可逆.由已知得111213212223313233A=-5,A=10,A=7A=2,A=-2,A=-2A=-1,A=2,A=1A-1=1|A|A*=51152122110225112721711223.行(列)初等变化法设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，若把子块A变为nI，则子块nI将变为1A，即初等行变换[E,A-1].注①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1EAEA初等列变换求得A的逆矩阵.③当矩阵A可逆时，可利用11EABEA,CABCA初等行变换初等列变换求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A-1B或CA-1.例3：:用初等行变换求矩阵231A013125的逆矩阵.【解】231100125001125001AE01301001301001301012500123110000611212500112500101301001301001910211100166311341006631301012211100166311.Gauss-Jordan(高斯-约当)法由定义1AA=E，设Y=AX(Y,X均为n维向量)，则X=1AY.若将Y=AX改写成X=BY,则1A=B.具体方法如下:写出Y=AX的矩阵形式nnnnnnnnxxxaaaaaaaaayyy......2121222211121121，有矩阵乘法写成方程形式nnnnnnnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111，消元后将左式化为如下形式：nnnnnnnnnnxbxbxbyxbxbxbyxbxbxby22112222221212121111，即X=BY，所以1A=B.12.矩阵函数的级数展开法例8.设矩阵B的特征根的绝对值小于1，且A=E+B,则A的逆矩阵存在，且4321BBBBEA.证明因为E与B可逆，令,)1(32nnnBBBBES于是nS与A之积等于E+1)1(nnB.所以(limlimnnnASE+1)1(nnB)=E,由于可逆矩阵的逆存在唯一性，可知nnSAlim1.4.用分块矩阵求逆矩阵设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则：1111111111111111AA000B0COAAACBAOAOBDBOBBDABBOAOBBOAO例4：已知0052002112001100A，求A-1.【解】将A分块如下：120052002112001100OAAAO其中125212,2111AA可求得1*1*1122121212111,2511||||3AAAAAA从而1121112003311003312002500OAAAO方法5解方程组求逆矩阵：根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A-1A=E两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.例5：求1000120021301214A的逆矩阵.【解】设21131324142431000100210314XAXXXXX,先求A-1中主对角线下的次对角线上的元素213243X,X,X,再求3142X,X，最后求41X.设E为4阶单位矩阵,比较21313241424310001100000212001213003121414XEXXXXX的两端对应元素,得到414243433132434142434241424343110X0X3X0;,X;412211X1X100;,X;32250X2X1X0;,X;44111X1X2X0;,X48解得解得解得解得。于是,所求的逆矩阵为:110001100221110263151184124A方法6用克莱姆法则求解：若线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的系数行列式||0ijnDa，则此方程组有唯一的一组解1212,,,nnDDDxxxDDD.这里iD是将D中的第i列1,,iniaa换成1,,nbb得到的行列式.定理1若ε1=(1,0,0,⋯,0),ε2=(0,1,0,⋯,0),⋯,εn=(0,0,⋯,1)是Fn(Fn表示数域F上的n元行空间)的标准基,则Fn中任一向量α=(a1,a2,⋯,an)都可唯一地表示为:α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn的形式,这里ai∈F(i=1,2,⋯,n).定理2两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A=(aij),A的行向量分别为α1,α2,⋯,αn,其中αi=(αi1,αi2,⋯,αin),(i=1,2,⋯,n),由定理1得:αi=Σaijεj(i=1,2,⋯,n).解以ε1,ε2,⋯,εn为未知量的方程组,由于系数行列式D=|A|≠0(因为A可逆),所以,由克莱姆法则可得唯一解:εj=Dj/D=bj1α1+bj2α2+⋯+bjnαn(j=1,2,⋯,n).其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α1,α2,⋯,αn而得到的n阶行列式.由定理2可得:BA=I(I为单位矩阵),从而有A-1=B.其中B=(bij).下面举例说明这种方法.例6：求可逆矩阵121310102A的逆矩阵.【解】矩阵A的行向量为123,,，由标准基123,,表示为：1123212313232解以123,,为未知量的方程组得：1123212331232419992113331259991241999211333125999A该法在理论上是用克莱姆法则求解,但可用消元法简化运算过程.还以上例说明之:由：1123212313232得：123112213323令123121310102AA是一个所谓的形式矩阵(其元素既有数,又有向量).对A施行矩阵的行的初等变换得:123123123241999100211010333001125999A1241999211333125999A方法7用行列式：定理：若n阶矩阵A=(Aij)为满秩矩阵,则A可逆，且1111i111i+11n1221i12i+12n1nn1ni1nni+1nnni1nAaaaaAaaaaAAAaaaaA’，，’2，2，’’，，其中，2，，11n，，，为nR的初始单位向量组，即i0000i12n，，，1，，，，，，例7：设1.23.12.4A6.15.44.74.10.20.1，求A的逆矩阵.【解】1121233122123313212333.12.4A5.44.70.4+0.17+1.610.20.10.4.0.171.611.22.4A6.14.718.669.72+94.10.118.669.7291.23.1A6.15.422.018+12.4712.074.10.222.01812.4712.0’’’，，，，，，71.23.12.4A6.15.44.77