数学与音乐

人们对数学与音乐之间联系的研究和认识源远流长最早可以追溯到公元前六世纪,当时毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来.他们不仅认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系,从而发现了和声与整数之间的关系,而且还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的.于是,毕达哥拉斯音阶(thePythagoreanScale)和调音理论诞生了,而且在西方音乐界占据了统治地位.虽然托勒密(C.Ptolemy,约100—165年)对毕达哥拉斯音阶的缺点进行了改造,得出了较为理想的纯律音阶(theJustScale)及相应的调音理论,但是毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位直到十二平均律音阶(thetemperedScale)及相应的调音理论出现才被彻底动摇.我国对“数学与音乐”的认识在我国,最早产生的完备的律学理论是三分损益律,时间大约在春秋中期《管子.地员篇》和《吕氏春秋.音律篇》中分别有述;明代朱载(1536-1610)在其音乐著作《律学新说》对十二平均律的计算方法作了概述,在《律吕精义内篇》中对十二平均律理论作了论述,并把十二平均律计算的十分精确,与当今的十二平均律完全相同,这在世界上属于首次.由此可见,在古代,音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起.从那时起到现在,随着数学和音乐的不断发展,人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深.感觉的音乐中处处闪现着理性的数学.乐谱的书写离不开数学.孔子说的六艺“礼、乐、射、御、书、数”，其中“乐”指音乐，“数”指数学。即孔子就已经把音乐与数学并列在一起。我国的七弦琴(即古琴)取弦长l，7/8，5/6，4/5，3/4，2/3，3/5，1/2，2/5，1/3，1/4．1/5，1/6，1/8得所渭的13个徽位，含纯率的1度至22度，非常自然，足很理想的弦乐器。我国著名古琴家查阜西早就指出，要学好古琴，必须对数学有一定素养。世界著名波兰作曲家和钢琴家肖邦很注意乐谱的数学规则、形式和结构，有位研究肖邦的专家称肖邦的乐谱“具有乐谱语言的数学特征”。•数学在音乐中的应用•斐波那契数列•黄金比例•三分损益法•平移变化斐波那契数列与钢琴键盘从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程.其中共包括13个键,有8个白键和5个黑键,而5个黑键分成2组,一组有2个黑键,一组有3个黑键.2、3、5、8、13恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数.斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）黄金比例与旋律•贝多芬、莫扎特、巴赫、巴托克、书比特等著名的音乐家的作品中都流淌着黄金分割完美和谐的旋律，他们音乐的音节、乐曲中的大小高潮大多都在乐曲的5:8的交叉点上。•巴托克《两架钢琴协奏曲》•贝多芬《第九交响曲》三分损益法与十二旋律三分损一三分益一五度相生律平移变换与乐谱音乐中的数学变换数学中存在着平移变换,音乐中是否也存在着平移变换呢?我们可以通过两个音乐小节[2]来寻找答案.显然可以把第一个小节中的音符平移到第二个小节中去,就出现了音乐中的平移,这实际上就是音乐中的反复.把两个音节移到直角坐标系中,那么就表现为图3.显然,这正是数学中的平移.我们知道作曲者创作音乐作品的目的在于想淋漓尽致地抒发自己内心情感,可是内心情感的抒发是通过整个乐曲来表达的,并在主题处得到升华,而音乐的主题有时正是以某种形式的反复出现的.比如,图4就是西方乐曲WhentheSaintsGoMarchingIn的主题[2],显然,这首乐曲的主题就可以看作是通过平移得到的.音乐中的数学变换.付立叶变换与级数理论声音是若干简单正弦函数的叠加（一般是无穷多个），就单一的声音元素来说（即可以由一个正弦函数来表示，也称为“简谐波”），音量与该函数的振幅有关，音调与该函数的频率有关，音色则与函数的形状有关。如果是单一的声音元素，发出来的声音必然单调乏味，只有很多种元素融合在一起才能形成美妙动听的旋律，这就是“复合波”（各种不同频率、振幅及相位元素的叠加）。数字音乐应该正是按照该原理设计的。最近佛罗里达州立大学音乐教授考兰德，耶鲁大学的兰丘教授和普林斯顿大学的德米特里教授，以“音乐天体理论为基础”，利用数学模型，设计了一种新的方式，对音乐进行分析归类，提出了所谓的“几何音乐理论”，把音乐语言转换成几何图形，并将成果发表于4月18日的《科学》杂志上，他们认为用此方法可以帮助人们更好地理解音乐。他们所用的基本的几何变换包括：平移、对称、反射（也称镜像，包括横向与纵向反射）、旋转等（指的五线谱，不适用于简谱）。平移变换通常表示一种平稳的情绪，对称（关于原点，X轴或Y轴对称）则表示强调、加重情绪，如果要表示一种情绪的转折（如从高潮转入低谷或从低谷转入高潮）则多采用绕原点180度的旋转有一位中学生在参加数学论文竞赛中运用这种方法对贝多芬的《月光》第一至第三乐章进行了分析，并得出这样的结论：第一乐章69小节，再现的主题从43小节开始，43/69=0.62；第二乐章96小节，主题从61小节开始再现，61/96=0.63，非常接近黄金分割。数学的抽象美，音乐的艺术美．经受了岁月的考验，相互的渗透。如今，有了数学分析和电脑的显示技术，眼睛也可辨别音律，成就是多么激动人心啊!对音乐美更深的奥秘至今还缺乏更合适的数学工具加以探究，还有待于音乐家和数学家今后的合作和努力。悲伤的双曲线如果我是双曲线，你就是那渐近线如果我是反比例函数，你就那坐标轴虽然我们有缘，能够生在同一平面然而我们又无缘，漫漫长路无交点为何看不见等式成立要条件难道正如书上说的无限接近不能达到，为何看不见明月也有阴晴圆缺，此事古难全但愿千里共婵娟此事古难全，但愿千里共长久