4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角定理

数学新课标（BS）数学·九年级下册4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理4圆周角和圆心角的关系探究新知活动1知识准备1．下列语句中不正确的有()①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．1个B．2个C．3个D．4个D4圆周角和圆心角的关系2．弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数之比是4∶5，则这两条弧的度数分别为________、________.160°200°4圆周角和圆心角的关系活动2教材导学如图3－4－1，观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC，它们的大小有什么关系？在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)，如图3－4－1①所示：图3－4－14圆周角和圆心角的关系∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋________．又∵OA＝OB，∴∠BAO＝________．∴∠AOC＝2∠ABO，即∠ABC＝12∠AOC.如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图3－4－1②③，那么结论还成立吗？请你说明理由．如果∠ABC的两边都不经过圆心，结论∠ABC＝12∠AOC________．∠BAO∠ABO仍然成立4圆周角和圆心角的关系证明：对于图3－4－1②的情况，连接BO并延长交⊙O于点D，如图3－4－2①.图3－4－24圆周角和圆心角的关系由图3－4－1①，知∠ABD＝12________，∠CBD＝12________，∴∠ABD＋∠CBD＝12________＋12________，∴∠ABC＝12________．对于图3－4－1③的情况，连接BO并延长交⊙O于点D，如图3－4－2②.由图3－4－1①，知∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD－∠CBD＝12∠AOD－12∠COD.∴∠ABC＝12∠AOC.◆知识链接——[新知梳理]知识点二∠AOD∠COD∠AOD∠COD∠AOC新知梳理4圆周角和圆心角的关系知识点一圆周角圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．由定义可知圆周角具备两个特征：一是顶点必须在圆上，二是角的两边都和圆相交．4圆周角和圆心角的关系知识点二圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的________．一半4圆周角和圆心角的关系知识点三圆周角定理推论1同弧或等弧所对的圆周角________．[注意]对定理中的几个关键词要正确理解．(1)“同弧”指“在同一个圆中的同一段弧”；(2)“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．相等重难互动探究4圆周角和圆心角的关系探究问题一由圆周角定理求角的度数例1[2014·株洲]如图3－4－3，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOB＋∠ACB＝84°，那么∠ACB的大小是________．图3－4－328°4圆周角和圆心角的关系[解析]根据“一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半”可知∠ACB＝12∠AOB，∴∠AOB＝2∠ACB，又∠AOB＋∠ACB＝84°，∴2∠ACB＋∠ACB＝84°，解得∠ACB＝28°.[听课笔记]_______________________________________________________________________________________________[归纳总结]圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，换言之，圆心角的度数等于它所对弧上的圆周角度数的2倍．4圆周角和圆心角的关系例2如图3－4－4，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝86°，则∠ACB的度数是________．图3－4－443°4圆周角和圆心角的关系[听课笔记]_______________________________________________________________________________________________4圆周角和圆心角的关系探究问题二利用圆周角定理及其推论进行证明例3如图3－4－5，⊙O的半径OA⊥OB，弦AC⊥BD.求证：AD∥BC.图3－4－54圆周角和圆心角的关系[听课笔记][解析]∵∠ACB与∠ADB都是AB︵所对的圆周角，∴它们都等于∠AOB的一半，即45°，故只需证明∠DAC＝45°即可．证明：∵∠AOB与∠ADB分别是AB︵所对的圆心角和圆周角，∴∠ADB＝12∠AOB＝12×90°＝45°.同理可证∠ACB＝12∠AOB＝45°.由AC⊥BD，∠ADB＝45°，可知∠DAC＝45°，即∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.4圆周角和圆心角的关系[归纳总结]圆周角定理反映的是两个角的倍、分关系，利用这个定理结合其他知识可以证明角之间的关系，进而证明诸如两线平行等问题．