立体几何专题讲座

立体几何高考考点分析主讲人：何强在高考中的地位：立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考的热点内容。该部分新增加了三视图，对三视图的考查应引起格外的注意。立体几何在高考解答题中，常以空间几何体（柱，锥，台）为背景，考查几何元素之间的位置关系。另外还应注意非标准图形的识别、三视图的运用、图形的翻折、求体积时的割补思想等，以及把运动的思想引进立体几何。最近几年综合分析全国及各省高考真题，立体几何开放题是高考命题的一个重要方向，开放题更能全面的考查学生综合分析问题的能力。考查内容一般有以下几块内容：1、平行：包括线线平行，线面平行，面面平行；2、垂直：包括线线垂直，线面垂直，面面垂直；3、角度：包括线线（主要是异面直线）所成的角，线面所成的角，面面所成的角；4、求距离或体积；高考中的立体几何题的解法通常一题多解，同一试题的解题途径和方法中常常潜藏着极其巧妙的解法，尤其是空间向量这一工具性的作用体现的更为明显。因此，这就要求考生通过“周密分析、明细推理、准确计算、猜测探求”等具有创造性思维活动来选择其最佳解法以节约做题时间，从而适应最新高考要求。立体几何知识是复课耗时较多,而考试得分偏低的题型.只有放低起点,依据课本,熟化知识,构建空间思维网络,掌握解三角形的基本工具,严密规范表述,定会突破解答立几考题的道道难关一、易错点分析模型的应用模型一coscoscosOABC例1.（2009全国卷Ⅰ理）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）（A）（B）（C）(D)34547434BCBCA111AD111ABCABC解：设的中点为D，连结A1D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D1AAB113cocs4oscosADADAADDABAAAB【解】：如图在三棱柱中，设由条件有，作于O点，则例3．(2008四川文)若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为600的菱形，则该棱柱的体积等于(B)（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）2223242111ABCABC0111160AABAAC011160CAB111AOABC面0111011coscos6013coscoscos3033AABAAOBAO16sin3AAO1126sin3AOAAAAO111111012622sin602223AOABCABCABCVSAO例2.（2009湖北卷文）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于A.B.C.D.21222333解：O过C1作C1O垂直于平面ABC于点O设∠ACO=∠BCO=∠C1CO=x所以cos600=cosxcos①cos450=cosxcos②因为互余所以①2+②2得cosx=23所以sinx=21所以C1O=C1Csinx所以选A2.（2009浙江卷理）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面ABC．在平面ABD内过点D作，K为垂足．设AK=t，则t的取值范围是．答案：AFDABDDKAB1,12解：由题意知AD在平面ABCD内的射影为AK所以cos∠DAF=cos∠DAKcos∠FAK因为∠ADF=900cos∠DAF=AFAFAD1tADAKDF1cos∠DAK=t=2,1DF由图知所以t121因为∠FAK与∠DAF互余所以cos∠FAK=sin∠DAF=AFDF①代入式①如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?练习ACBD例1.（2009江西卷理）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为A．是正三棱锥B．直线OB∥平面ACD．C.直线AD与OB所成的角是D．二面角为DOBA4545yxzOABCDOABC模型二以正方体和长方体为模型COABD例2、求证与棱长为4正四面体ABCD每条棱都相切的球的半径ABCD例3例4(2008海南、宁夏理)某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（C）A.B.C.4D.762232526AB=7AD=设长方体的长宽高分别为x,y,z所以x2+y2+z2=7y2+z2=6a2=x2+z2b2=x2+y2所以a2+b2+6=14即a2+b2=8因为（a+b)2≤2a2+2b2=16所以a+b的最大值为4当且仅当a=b时取等号ABCDExyz解如图例5、四面体ABCD其中AB=CD=4134AC=BD=AD=BC=5求该四面体外接球的半径ABCD解：设长方体的长宽高分别为x,y,zx2+y2=AB2=41y2+z2=AC2=34x2+z2=AD2=25解得x=4y=5z=3由图知四面体的外接球和长方体的外接球相同225R评注：若四面体是对棱相等的四面体，则它外接一个长方体，并可把它推广：其中四面体的体积是外接长方体体积的例6已知四面体的四个面都是边长分别是5、6、7的全等三角形，求这个四面体的体积。解：通过分析已知条件，构造长方体ABCD－A1B1C1D1，如图6，其中四面体D1AB1C符合条件。令AC=5，B1C=6，AB1=7，由勾股定理得AB2=19,BC2=6,AA12=30.∴952306193131长方体四面体VV317.（2009安徽卷理）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。1相对棱AB与CD所在的直线异面；2由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；3若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。[解析]①④⑤反证法对于命题⑤可用反证法设由最长棱AC的两个端点分别引出的两条棱长度之和都小于等于最长棱AC。即：ABCDAB+AD≤AC且CB+CD≤AC以上两式相加：(AB+AD)+(CB+CD)≤2AC即（AB+CB）+(AD+CD)≤2AC①又因为三角形两边之和大于第三边AB+CBAC且AD+CDAC与①矛盾所以命题⑤正确21.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。(Ⅱ)假设直线ME与BN共面，……8分则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB//EN。又AB//CD//EF，所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线.练习如图，已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点．（1）求证：EF与PC是异面直线；（2）EF与PC所成的角；例1(2008江西理)连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M②弦AB、CD可能相交于点N③MN的最大值为5④MN的最小值为l其中真命题的个数为（C）A．1个B．2个C．3个D．4个轨迹思想在立体几何中的应用若球弦长为定值则弦的中点在空间中的轨迹是什么？因为弦长为定值，所以球心到弦的中点的距离为定值即弦中点在空间中的轨迹为球面且与已知球同球心一、由满足题设条件的点构成的集合CDABNM(2008四川文、理)设直线平面，过平面外一点A与都成角的直线有且只有：(B)（Ａ）１条（Ｂ）２条（Ｃ）３条（Ｄ）４条l,l030D45°如图，定点A和B都在平面内，定点是内异于A和B的动点且，那么动点C在平面内的轨迹是()(A)一条线段但要去掉两个点(B)一个圆但要去掉两个点(C)一个椭圆但要去掉两个点(D)半圆但要去掉两个点CPBP,,ACPCL为平面的一条斜线P为内一动点且P到L的距离为5则P在内的轨迹为什么图形二、动点满足的曲线的性质构成的集合例、如图三角形ABC所在的平面和四边形ABCD所在的平面垂直且AD⊥BC⊥AD=4BC=8AB=6,∠APD=∠CPB,则点P在平面内的轨迹是（）DAPBC类比例1：如图，在长方体AC1中，AD＝2，AB＝2，AA1＝1，P是矩形ABCD内一动点，若P到AD的距离与P到BB1的距离相等，则动点P的轨迹是以下哪种图形的一部分（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线BACDP●ABCDA1B1C1D1P●D﹁●21P到A1D1距离的平方比P到BB1距离平方还大12立体几何与解析几何交汇题一、12．(2008辽宁文、理)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（D）A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条