立体几何复习课

【知识要点】1.空间几何体三视图与直观图①由空间几何体画三视图②由三视图还原实物图③斜二测画法及面积计算2.空间几何体的表面积与体积①锥、柱、台、球体表面积、体积计算②割补法、等体积法计算几何体的体积③画空间几何体的展开图及面积计算常见几何体的三视图•1.长方体、正方体•2.圆柱、圆锥、圆台、球•3.棱柱、棱锥•4.组合体直观图斜二测画法•例1.如图1所求，四边形是上底为2，下底为6，•底角为450的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图，在直观图中梯形的高为（）•A．B．1•C．D．322212•例2.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图3则原平面图形的面积为（）•A．•B．•C．•D．43428382体积与表面积3.点、线、面之间的位置关系（1）四个公理•公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。•符号表示：。•公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。•公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。•符号表示：。•公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。•符号表示：lBAlBlA,,,lPlPP,,313221////,//llllll•例3.如图2，已知空间四边形ABCD,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点，且BG=2GC，DH=2HC求证：EG,FH,AC相交于同一点．（2）直线之间的位置关系：•（1）平行：在同一平面内，且没有交点。•（2）相交：在同一平面内，有且只有一个交点。•（3）异面：不同在任何一个平面内，没有公共点•定理：空间中如果有两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。（3）直线与平面之间的位置关系•（1）直线在平面内----有无数个公共点•（2）直线与平面相交--有且只有一个公共点•（3）直线与平面平行----没有公共点•（1）两个平面平行---没有公共点•（2）两个平面相交---有一条公共直线平面与平面之间的位置关系4.直线、平面平行的判定与性质(1)直线与平面平行•（1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。•符号表示：.•性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行•符号表示：.(2)平面与平面平行•（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。•符号表示：•（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：。////,//,,,baPbabalalaa//,,//baba//,,//5.直线、平面垂直的判定与性质•直线与平面垂直•判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号表示：。•性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。•符号表示：。•平面与平面垂直•判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。•符号表示：。•性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。•符号表示：。aPnmnmnama,,,,baba//,aa,alaal,,,空间中的各种角•等角定理及其推论•定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.•推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.•异面直线所成的角•(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.•(2)取值范围：0°＜θ≤90°.•(3)求解方法•①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；•②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.11.直线和平面所成的角•(1)定义直线和平面所成的角有三种：•(i)斜线与平面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.•(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.•(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.•(2)取值范围0°≤θ≤90°•(3)求解方法•①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.•②解含θ的三角形，求出其大小.•③最小角定理•斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.•12.二面角及二面角的平面角•(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.•(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.•若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.•二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是•0°＜θ≤180°•(3)二面角的平面角•①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.•如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.•②二面角的平面角具有下列性质：•(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.•(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.•(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.•③找(或作)二面角的平面角的主要方法.•(i)定义法•(ii)垂面法•(iii)三垂线法•(Ⅳ)根据特殊图形的性质•(4)求二面角大小的常见方法•①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.•②利用面积射影定理S′=S·cosα•其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.•③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.体积法其步骤是：•①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；•②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；•③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.•难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.•如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD．•①证明BC⊥侧面PAB；•②证明侧面PAD⊥侧面PAB；•③求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小；•④求平面PAB与平面PCD所成二面角余弦值2如图8，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1，E是CD边上的中点，以AE为折痕将向上折起，使D为D•（1）求证：；•（2）求直线AC与平面所成角的正弦值．DAE△ADEB⊥ABD•在四面体ABCD中，平面ABC⊥平ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30O.（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC,求四面体ABCD的体积；(Ⅱ)若二面角C-AB-D为600，求异面直线AD与BC所成角的余弦值.•四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.•(Ⅰ)证明：PA⊥BD；•(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。•在三棱柱中，H是正方形的中心，，平面,且•（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；•（Ⅱ）求二面角的正弦值；•（Ⅲ）设N为棱的中点，点M在平面内，且平面，求线段BM的•长．11AABB122AA1CH11AABB15.CH111AACB11BC11AABBMN11ABC111ABCABC•在四棱锥中P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，.•(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC•（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；•（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.2,60ABBAD•已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点•（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；•（Ⅱ）求AC与PB所成的角；•（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小PADAB,90ABCDPM21