6SPS与6PSS并联机构的运动与受力分析

16-SPS与6-PSS并联机构的运动与受力分析与传统的串联机构相比，并联机构的运动与受力分析具有反解容易而正解复杂的特点。为了解并联机构的这些特点，本文针对6-SPS和6-PSS两种6自由度并联机构的运动和受力特性进行了简单推导，得出一些关于求解矩阵的有趣结论。1、6-SPS推导过程6-SPS并联机构又称Stewart平台，由上平台、下平台以及连接上下平台的6个支撑杆组成，支撑杆与平台通过球铰连接，支撑杆本身又能够通过液压驱动改变长度，进而驱动上平台的运动，如图1所示。图16-SPS并联机构平台1.1运动分析首先对该并联机构进行自由度计算，下平台固定，活动构件数目13n，球铰个数12RP，移动副个数6PP，在每个支撑杆移动副上有一个绕轴转动的局部自由度，则局部自由度的总数为6'F。根据空间机构自由度的计算公式可得：6665123136536'FPPnFPR在驱动上平台运动时，6个支撑杆的输入速度分别为621vvv...,，上平台的运动2形式为螺旋运动，既有平动，又有绕轴旋转，表示为平动速度v和转动角速度ω，输入速度和平台速度之间有什么运算关系呢？图26-SPS并联机构速度分析如图2所示，取上平台的转动中心为O，支撑杆1与上平台的铰接处取为A，中心O到铰接点A的向径为1R，则上平台位于A点处的速度可表示为：1RωvvA设支撑杆1的方向向量为1l，Av向支撑杆1投影可得：)()()(111111111lRωlvlRωlvlRωvlvA支撑杆1的输入速度1v沿杆长方向，则Av向支撑杆1的投影即为1v，从而可得：)(11111lRωlvlvAv同理可求得其余支撑杆的速度表达式分别为：)(22222lRωlvlvAv)(33333lRωlvlvAv......)(66666lRωlvlvAv将6个输入速度表达式整理写为矩阵形式，可得：3ωvlRllRllRllRllRllRl666555444333222111654321,,,,,,vvvvvv即：6543211666555444333222111,,,,,,vvvvvvlRllRllRllRllRllRlωv记6665554443332221111,,,,,,lRllRllRllRllRllRlJ，则上式可简写为：65432111vvvvvvJωv(1)式(1)即为6-SPS并联机构支撑杆输入速度与上平台输出速度的计算关系式。1.2受力分析设支撑杆1的驱动力为1F，对上平台产生的的驱动力矩为：111FRM4图36-SPS并联机构速度分析如图3所示，相应地，支撑杆2～6的驱动力和驱动力矩分别为66,,,,,,,,,MFMFMFMFMF55443322，设上平台的负载力和负载力矩为MF,，根据力螺旋理论可写出以下平衡式：OMFMFMFMFMFMFMF116655443322即：OMFFRFFRFFRFFRFFRFFRF111666555444333222提出各驱动力的数值大小，可得：OMFlRllRllRllRllRllRl111666655554444333322221ffffff写成矩阵的形式，可得负载力螺旋的计算式：65432166554433226543,,,,,,,,,,fffffflRlRlRlRlRlRllllllMF1121进一步简写为：56543211ffffffTJMF(2)式(2)为6-SPS并联机构支撑杆输入驱动力与上平台负载力和力矩的计算关系式。比较式(1)和式(2)，可以发现两者具有相同的计算形式，即系数矩阵分别为矩阵1J的逆矩阵和转置矩阵，这说明了6-SPS并联机构平台的速度解算和力与力矩解算具有一定的联系，这一结论可以为其他形式的6自由度并联机构解算起到参考作用。2、6-PSS推导过程6-PSS并联机构是对Stewart平台的一种变形，将支撑杆中的移动副放到下端与下平台的连接处，移动副与杆通过球铰连接，即形成杆长不变的PSS支撑结构，通过改变移动副的位置来驱动上平台实现不同的姿态，如下图所示。图46-PSS并联机构平台2.1运动分析首先进行自由度计算，作为下平台的6个滑块可沿导轨移动，形成移动副。活动构件数目13n，球铰个数12RP，移动副个数6PP。每个支撑杆与滑块的铰接处，支撑杆相对滑块有一个绕杆轴线转动的局部自由度，故局部自由度总数为6'F。根据空间机构自由度的计算公式可得：66665123136536'FPPnFPR该机构有6个自由度，因此每个滑块都要进行驱动，才能保证机构有确定的运动。6个滑块的输入速度分别为621vvv...,，上平台的运动形式为螺旋运动，既有平动，又有绕轴旋转，表示为平动速度v和转动角速度ω，输入速度和平台速度之间的运算关系推导如下。图56-PSS并联机构速度分析如图5所示，上平台与支撑杆1铰接处A点的速度可表示为：1RωvvA(3)设支撑杆1的方向向量为1l，滑块1运动的方向向量为1e。根据支撑杆1长度不变的特点可知，球铰A处速度Av和滑块1的速度1v在杆1上的投影相等，即：111lvlvA将式(3)代入上式，可得：1111lvlRωv)(整理可得：1111111lelRωlelv)(1v同理可求得其余滑块输入速度的表达式如下：722222222)(lelRωlelvv33333333)(lelRωlelvv......66666666)(lelRωlelvv将6个输入速度表达式整理写为矩阵形式，可得：ωvlelRlellelRlellelRlellelRlellelRlellelRlel111116666666555555544444443333333222222211654321,,,,,,vvvvvv即：65432116666666555555544444443333333222222211,,,,,,vvvvvvlelRlellelRlellelRlellelRlellelRlellelRlelωv111118记6666666555555544444443333333222222211,,,,,,lelRlellelRlellelRlellelRlellelRlellelRlelJ111112，则上式可简写为：65432112vvvvvvJωv(4)式(4)即为6-PSS并联机构驱动滑块输入速度与上平台输出速度的计算关系式。2.2受力分析图66-PSS并联机构受力分析设滑块1的驱动力为1F，支撑杆1为二力杆，对上平台球铰A处的作用力为A1F。为推导出1F与A1F的关系，隔离球铰B进行分析。9图7球铰B受力分析如图7所示，球铰B平衡时，可得到下列关系：1f1A1eF可解出1AF的数值大小为：11le11ffA(5)支撑力A1F对上平台产生转矩A11A1FRM，同理可得其余各杆支撑力与力矩。由力螺旋理论可写出以下平衡式：OMFMFMFMFMFMFMF116655443322AAAAAAAAAAAA即：OMFFRFFRFFRFFRFFRFFRF111666555444333222AAAAAAAAAAAA提出各支撑杆力的数值大小，可得：OMFlRllRllRllRllRllRl111666655554444333322221AAAAAAffffff代入式(5)表示的各支撑杆力，可得由滑块驱动力表示的平衡式：OMFlRllelRllelRllelRllelRllelRlle665544332211111666655554444333322221ffffff10写成矩阵的形式，可得负载力螺旋的计算式：6543213,,,,,,,,,,ffffff66665555444433322221111666555444333222111lelRlelRlelRlelRlelRlelRlellellellellellelMF上式可进一步简写为：6543212ffffffTJMF(6)式(6)为6-PSS并联机构各滑块输入驱动力与上平台负载力和力矩的计算关系式。对比式(4)与式(6)可以发现与式(1)和式(2)相同的计算规律，即上平台输出速度与滑块输入速度以矩阵2J的逆矩阵为计算系数，上平台负载力和力矩与滑输入力则以矩阵2J的转置为计算系数。3小结将以上计算得出的4个解算公式分别罗列出来如下6-SPS并联机构：TTvvvvvv65432111,,,,,,Jωv(1)TTTffffff6543211,,,,,,JMF(2)6-PSS并联机构：TTvvvvvv65432112,,,,,,Jωv(4)TTTffffff6543212,,,,,,JMF(6)可以看出，6-SPS和6-PSS并联机构在速度解算和受力解算上具有相同的运算规律，可以设想，其他6自由度并联机构在进行相应解算时一定也会有相同的规律可循。