数学建模论文—电梯运行的最优策略

2013南昌大学第十届数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了南昌大学数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：.报名序号是(没有或不清楚可不填):________________.参赛队员(打印并签名)：所属院系（请填写完整的全名）：1._______________签名:_________________院系:__________________________2._______________签名:_________________院系:__________________________3._______________签名:_________________院系:__________________________日期：年月日2013南昌大学第十届数学建模竞赛编号专用页评阅编号：评阅记录：评阅人备注1电梯运行的最优策略摘要本文针对现代高层住宅楼电梯运行效率低下的问题进行了优化策略的探讨。首先，我们对三种常见的电梯运行模式，即：随机运行模式、奇偶层运行模式、分段运行模式的运行周期进行了比较，并参考相关文献资料后发现分段运行模式的运行效率相对最高。然后，我们针对住宅楼一天中电梯的使用规律，将一天中电梯的使用分为五个时间段：早上空闲时段、上班高峰期、中间时段（上下楼概率相等）、下班高峰期、晚上空闲时段。并针对五个时段电梯的使用特点，在分段运行模式的基础上，分别建立了相应的模型，以各层住户乘坐电梯到达目标层的最短平均时间为目标，提出了最优运行策略。三种常见的运行模式的运行机制为：运行模式操作机制随机运行模式允许电梯可以在任意层停靠奇偶层运行模式一台停靠奇数层，另一台停靠偶数层(及第一层)分段运行模式将住宅楼分为两段,一台电梯负责上段层居民的运送，另一台电梯负责下段层居民的运送我们为题目中这栋25层、有两部电梯的住宅楼所设计的运行策略为：我们采用计算机模拟的方法来模拟电梯运行的实际情况，分析各层住户上楼、下楼的平均时间。结果表明我们的模型结果稳定，精度较高。最后，我们将模型在不同楼层数，不同电梯部数的高层建筑中进行了推广，并将其应用于南昌大学前湖校区北院图书馆的电梯最佳运行策略的探求。关键词：分段运行模式五个时间段到达目标楼层的最短平均时间时间段操作机制第一台电梯第二台电梯早上空闲时段负责运送2〜13层的住户，不工作时停靠在7层负责运送14〜25层的住户，不工作时停靠在20层上班高峰期负责运送2〜13层的住户，不工作时停靠在13层负责运送14〜25层的住户，不工作时停靠在25层中间时段负责运送各层住户上楼及2〜9层的住户下楼，不工作时停靠在1层负责运送10〜25层的住户下楼，不工作时停靠在18层下班高峰期负责运送2〜13层住户，不工作时停靠在1层负责运送14〜25层的住户，不工作时也停靠在1层晚上空闲时段负责运送住户，不工作时停靠在一层始终停靠在1层不工作2一、问题的提出某高层住宅楼共25层，其中奇数层每层住有4户，偶数层每层住有2户，楼中安有两台电梯供住户上下楼。由于楼层高，电梯数较少，且上下班高峰期时人流密度大，这就使得两部电梯的运行效率低下，给居民乘坐电梯带来了很多烦恼。请你在分析该电梯现有的运行策略的运行效率和优缺点后，设计一种新的电梯运行策略帮助这些住户消除他们乘坐电梯的烦恼，并用数学手段进行验证。最后出于商业目的的需要，分析说明你设计的电梯运行策略是否可以广泛用于高层居民住宅楼（目前国内设计楼层为8层及以上的住宅楼都安装了一部或多部电梯）。二、问题的分析不难看出，该住宅楼居民对电梯使用的抱怨主要集中在其运行“慢”，服务效率低下的问题上。那么我们所要讨论的最佳运行策略即是要最大程度地减少居民使用电梯到达目标楼层所需的时间。因此，我们把各层居民们乘坐电梯到达目标楼层所需的平均时间作为衡量策略优劣的标准。我们了解到，在现代高层住宅楼中，常见的电梯运行模式有：随机运行模式，奇偶分层运行模式以及分段运行模式。首先需要解决的问题便是为该住宅楼选择一种效率最理想的运行模式。此外，考虑到住宅楼中电梯的使用规律，我们把一天中电梯的使用分为五个时间段：早上空闲时段，上班高峰期，中间时段（上下楼概率相等），晚上空闲时段。为了最大程度地提高电梯的服务效率，还需在已经确定的运行模式的基础上，针对五个不同的时间段的人流特点分别设计不同的运行策略。至此，此次的建模还没有完成，接下来还应分析讨论我们的模型能不能在现代的高层住宅楼中推广，能不能为不同电梯数，不同楼层数的住宅楼的最优电梯运行策略的探求给出合理的决策。三、模型的假设1.早上空闲时段某时刻只有某一层的住户呼叫电梯下行；2.上班高峰期每层都有住户呼叫电梯下行，且不考虑个别住户要上楼的情况；3.中间时段只有某层住户呼叫电梯下行或从第一层呼叫电梯上行；4.下班高峰期每层住户都有在一楼呼叫电梯上行的，且不考虑个别乘客要下楼的情况；5.晚上空闲时段某时刻只有某一层的住户在一楼呼叫电梯上行；6.不考虑超载的情况；7.不考虑不同楼层住户间的往来；8.不考虑节假日，突发事件及其它因素导致的人流规律的变化；9.电梯的启动和制动在瞬间完成，即电梯一启动就瞬间达到正常运行速度，一制动就马上停止；10.电梯经过某一层及在某层停靠的时间均为常数；11.采用住户乘坐电梯到达目标楼层所需的平均时间作为衡量电梯运行效率的标准，不考虑住户在电梯外的等待时间的影响；3四、符号说明Z住宅楼的总层数i居民所住楼层的层号k第一部和第二部电梯工作楼层的分界m第一部电梯不工作时所停楼层n第二部电梯不工作时所停楼层Pi第i层居民呼叫电梯的概率或居民要上i层概率tdi电梯把居民从第i层送到第一层的时间tui电梯把居民从第一层送到第i层的时间t0电梯运行时经过每一层的时间，t0=3t1电梯在每一层的停靠时间，t1=5T把居民送下楼或送上楼的平均时间Pd中间时间段，住在第i层居民呼叫电梯是下楼的概率Pu中间时间段，住在第i层居民呼叫电梯是上楼的概率A=[TminKMN]为方便数据输出，特定义数组A，A中Tmin、K、M、N分别代表最短时间、第一二部电梯工作楼层的分界、第一部电梯不工作时所停楼层、第二部电梯不工作时所停楼层X模拟中间时期电梯运行的次数Si第i种运行模式的运行周期x1第一部电梯的工作层数x2第二部电梯的工作层数4五、模型的建立与求解运行模式的选择考虑到在相同的时间内，电梯的运行周期越短，其运行的次数就越多，能够搭载的住户就越多。所以我们衡量三种运行模式效率高低的标准是其运行一个周期所需的时间S。以下班高峰期为例，电梯的一个运行周期即是从一楼出发，到送完每层的住户回家然后空载返回第一层的过程。特别地，对于奇偶分层运行模式和分段运行模式，由于两部电梯分别承担不同的运行任务，我们采用了对两部电梯的运行周期加权后的平均周期。通过比较在这种情况下三种运行模式的运行周期的长短，我们可以较好地预测其运行效率的高低。1.随机运行模式该模式允许电梯可以在任意层停靠，两台电梯的平均运行周期为：10021SZtZt2.奇偶运行模式该方案要求两台电梯中一台停靠奇数层，另一台停靠偶数层(及第一层)，已知Z=25为奇数，则停靠奇数层的电梯的运行周期为：012112ZtZt。停靠偶数层的电梯的运行周期为:012212ZtZt。加权后的平均周期为：20101211212221212SZtZtZZtZtZZ201(Z1)(2Z1)/ZZZ/2Ztt－－（）3.分段运行模式该模式将住宅楼分为两段,一台电梯负责上段1X层居民的运送，另一台电梯负责下段2X层居民的运送。经过分析，我们发现为使电梯的运行效率最高，须满足121XXZ，使得除第一层外其它楼层均只有一部电梯停靠。那么第一台电梯就应工作于1，12ZX〜Z层（共1X层），第二台电梯应工作于1,2〜2X层（共2X层）。第一台电梯的运行周期为:0112Z1tXt，第二台电梯的运行周期为：20212(1)XtXt－。5加权后的平均运行周期为：3011120212{[2Z1][2(1)]}/ZStXtXXtXtX＋－将12Z1XX代入，2221101112[Z2ZZ1][2(Z1)Z1]/ZXXtXXt－－根据一元二次方程y=ɑx2+bx+c在x=－b/2ɑ处取得最小值的性质可知x1取(Z+2)/2或(Z+1)/2时可使T3最小。又Z=25为奇数，故12Z1/2XX，即第一台电梯工作于1，（Z+1）/2+1〜Z层,第二台电梯工作于1,2〜(Z+1)/2层,可使3T最小，运行效率最高。此时23min13Z1Z1/2ZZ1/2ZSt（－）结论：根据实际经验，我们合理假设t0=3s，t1=5s，代入数据得1S=269s，2S=206.12s，3minS=179.92s，即分段运行的周期最短，在相同的时间内，运行效率最高。我们进一步地查阅了有关电梯运行模式与效率的文献资料，北京大学的张海龙、高东红在其发表的论文《几种电梯运行模式的应用和比较》中，对上述三种运行模式的运行效率进行了比较，得出了结论：运行效率：分段运行奇偶分层运行随机运行，并将分段运行模式应用于北京大学第三医院外科楼的电梯运行策略中，通过实行分段运行提高运行效率。因此我们为该住宅楼的居民选择了分段运行模式。五个时间段的电梯运行策略在分段运行模式的基础上，我们依据住宅楼电梯的使用规律将一天中电梯的使用分成五个时间段：早上空闲时段，上班高峰期，中间时段，下班高峰期，晚上空闲时段。基于五个不同时段的人流特点，分别建立相应的模型。以平均每层住户使用电梯到达目标楼层的最短时间为目标，探求电梯的最佳运行策略。模型一早上空闲时段的电梯运行策略早上空闲时间段，多数住户刚从睡梦中醒来，活动范围有限，因此我们合理假设只会出现某层楼的人下楼的情况（同时不考虑个别人上楼的情况），由题目条件给出的每层楼所居住的人的户数，可以计算出是第i层楼的人需要下楼的概率Pi。由分段运送的策略，假设第一部电梯负责1-k－1层住户的运送，不工作时停靠于m层；第二部电梯负责k〜25层住户的运送，不工作时停靠于n层，通过探求合适的n，m，和k的值使得各层住户的平均下楼时间T最小，从而确定在早上空闲时段的电梯运行策略。第i层居民呼叫电梯的频率：72)1(3))1(3()1(3252iiiiip各层住户下楼的时间为：6①2~k-1层住户下楼的时间为：100*2*)1(*||ttitimtdi②k~25层住户下楼的时间为：100*2*)1(*||ttitintdi各层住户下楼的平均时间：dikiidikiitptpT2512用matlab编程如下：由上图可知：当T取最小值57时k=14，m=7，n=20。所以，早上空闲时段的运行策略为：第一部电梯负责运送第14层以下的居民下楼，不工作时停在第7层；第二部电梯负责运送14〜25层的住户下楼，不工作时停靠在20层。模型二上班高峰期电梯的运行策略多数住户要在此时段上班，因此我们假设在此时段每层都有住户呼叫电梯下楼，第一部电梯负责1~k－1层住户的运送，不工作时停靠于m层，第二部电梯负责k〜25层住户的运送，不工作时停靠于n层，通过探求合适的n，m，和k的值使得各层住户的平均下楼时间T最小，从而确定在上班高峰期的电梯运行策略。(由于每层均有住户呼