贝塞尔函数

在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程．6-2贝塞尔函数柱函数通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函数．贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交完备性．6.1贝塞尔方程及其解6.1.1贝塞尔方程拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程。考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题222222200()(0,0)|0(0)(,,)|(,)(,,)|(,)ttxxyyxyltttuauuxyltutuxytxyuxytxyϕψ+===⎧=+≤+⎪=≥⎪⎨=⎪⎪=⎩（6.1.1）其中l为已知正数，(,),(,)xyxyϕψ为已知函数．这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标）设(,,)(,,)()(,)uxytutTtUρϕρϕ==对泛定方程分离变量（取2kλ=）得220TkaT′′+=（6.1.2）22110|0lUUUkUUρρϕρρρ=⎧′′′′′+++=⎪⎨⎪=⎩（6.1.3）再令(,)()()URρϕρϕ=Φ，得到20ν′′Φ+Φ=(6.1.4)2222()0RRkRρρρν′′′++−=（6.1.5）令,()()kxRyxρρ==于是(6.1.5)得到22222dd()0ddyyxxxyxxν++−=（6.1.6）边界条件为()|()0lykyklρρ===方程（6.1.6）称为ν阶贝塞尔微分方程．这里νx和可以为任意数．6.1.2贝塞尔方程的解通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：（1）当ν≠整数时，贝塞尔方程(6.1.6)的通解为()J()J()yxAxBxνν−=+（6.1.7）其中,AB为任意常数，J()xν定义为ν阶第一类贝塞尔函数但是当nν=整数时，有J()(1)J()nnnxx−=−故上述解中的J()nx与J()nx−是线性相关的，所以(6.1.7)成为通解必须是ν≠整数.（2）当ν取任意值时：定义第二类贝塞尔函数N()xν，这样贝塞尔方程的通解可表示为()J()N()yxAxBxνν=+（6.1.8）(3)当ν取任意值时：由第一、二类贝塞尔函数还可以构成线性独立的第三类贝塞尔函数H()xν，又称为汉克尔函数．(1)(2)H()J()iN()H()J()iN()xxxxxxνννννν⎧=+⎨=−⎩（6.1.9）分别将(1)(2)H,Hνν称为第一种和第二种汉克尔函数．于是贝塞尔方程的通解又可以表示为(1)(2)(H()H()yxAxBxνν=+（6.1.10）最后，总结ν阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：（i）()J()J()(yxAxBxννν−=+≠整数）（ii）()J()N()(yxAxBxννν=+可以取任意数）（iii）(1)(2)()H()H()(yxAxBxννν=+可以取任意数）6.2三类贝塞尔函数的表示式及性质6.2.1第一类贝塞尔函数的表示式第一类贝塞尔函数J()xν的级数表示式为20201J()(1)()!(1)21J()(1)()!(1)2kkkkkkxxkkxxkkνννννν∞+=∞−+−==−Γ++=−Γ−++∑∑（6.2.1）式中()xΓ是伽马函数．满足关系(1)()(1)(2)(1)(1)kkkννννννΓ++=++−++Γ+当ν为正整数或零时，(1)()!kkννΓ++=+当ν取整数时(1),(0,1,2,,1)kkννΓ−++=∞=⋅⋅⋅−所以当nν=整数时，上述的级数实际上是从kn=的项开始，即201J()(1)(),(0)!()!2knknkxxnknk∞+==−≥+∑(6.2.2)而2201J()(1)()!(1)21(1)(1)(),()!(1)2knknknnlnllxxknkxlknlnl∞−+−=∞+==−Γ−++=−−=−Γ++∑∑(6.2.3)所以J()(1)J()nnnxx−=−（6.2.4）同理可证J()J()nnxx−=−（6.2.5）因此有重要关系J()(1)J()nnnxx−=−（6.2.6）可得几个典型的贝塞尔函数表示式24602235111J()1()()()2(2!)2(3!)211J()()()22!22!3!2xxxxxxxx=−+−+=−+−当x很小时(0)x→，保留级数中前几项，可得1J()(),(1,2,3,)2(1)xxνννν≈≠−−−⋅⋅⋅Γ+（6.2.7）特别是0J(0)1,J(0)0(=1,2,3,)nn==⋅⋅⋅(6.2.8)当x很大时322ππJ()cos()()π42xxoxxνν−≈−−+（6.2.9）例6.2.1试证半奇阶贝塞尔函数122J()sinπxxx=证明：由公式(6.2.1)有而13135(21)()π22kkk+⋅⋅⋅⋅+Γ+=故122102(1)J()π(21)!kkkxxxk∞+=−=+∑2sinπxx=同理可证122J()cosπxxx−=121212220J()(1)12!(1)2kkkkxxkk+∞+==−Γ++∑6.3贝塞尔函数的基本性质6.3.1贝塞尔函数的递推公式由贝塞尔函数的级数表达式（6.2.1）容易推出1J()J()d[]dvvxxxxxνν+=−(6.3.1)1d[J()]J()dvvvvxxxxx−=(6.3.2)以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式.诺伊曼函数N()vx和汉克尔函数也应该满足上述递推关系若用()vZx代表v阶的第一或第二或第三类函数,总是有1d[()]()dvvvvxZxxZxx−=(6.3.3)1d[()]()dvvvvxZxxZxx−−+=−(6.3.4)把两式左端展开,又可改写为1()()()vvvZxZxZxxν+′−=−(6.3.5)1()()vvvZZxZxxν−′+=(6.3.6)从(6.3.5)和(6.3.6)消去Zν或消去Zν′可得11()()2()vvvZxZxZx+−′=−112()()()vvvvZxZxZxx+−=−+即为从)(1xZv−和)(xZv推算)(1xZv+的递推公式.上式也可以写成为11()()2()vvvvZxZxZxx−++=（6.3.7）11()()2()vvZxZxZxν−+′−=（6.3.8）任一满足一组递推关系的函数)(xZv统称为柱函数例6.3.1证明柱函数满足贝塞尔方程【证明】以满足（6.3.7）和（6.3.8）这一组递推公式来进行证明：将(6.3.7)与（6.3.8）相加或相减消去1Zν+或1Zν−分别得到1()()()ZxZxZxxνννν−′+=(6.3.9)1()()()ZxZxZxxνννν+′=−（6.3.10）将(6.3.9)式中的换成1ν+，得到ν111()()()ZxZxZxxνννν+++′=+（6.3.11）将（6.3.10）代入上式，立即得到()Zxν满足ν阶贝塞尔方程．例6.3.2求2J()dxxx∫【解】根据公式(6.3.8)11()()2()vvZxZxZxν−+′−=有201J()J()2J()xxx′=−20111111010J()dJ()d2J()dJ()2[J()J()d]J()2[J()J()d]J()2J()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxc′=−=−−′=−+=−−+∫∫∫∫∫例6.3.3证明下式成立1110J()dJ()xmmmmxxxxx+++=∫(6.3.17)特别是22120J()dJ()xxxxxx=∫(6.3.18)【证明】利用递推公式(6.3.2)即1d[J()]J()dvvvvxxxxx−=，令1mν=+则两边积分，故得到111d[J()]J()dmmmmxxxxx+++=1110J()J()dxmmmmxxxxx+++=∫1m=其中取，即为（22.3.18）式。6.3.2贝塞尔函数与本征问题拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量，得到了方程(14.6.7)即2222d1d()0ddRRRνμρρρρ++−=（6.3.19）在自然周期边界条件下，mν=取整数，其它情况下ν可取任意复数对另一本征值μ分三种情况：0=μ，0μ和0μ进行讨论：（１）0=μ．方程（6.3.19）是欧拉方程；（２）0μ．作代换xμρ=，则得到()22222dd0()ddRRxxxRxxxνμρ++−==（6.3.21）即为ν阶贝塞尔(Bessel)方程．（３）0μ．记20kμ−=，以2kμ=−代入，并作代换xkρ=则方程化为()22222dd0ddRRxxxRxxν+−+=(6.3.22)这叫作虚宗量贝塞尔方程．如把贝塞尔方程（6.3.22）的宗量x改成虚数ix，就成了方程（6.3.21）贝塞尔方程本征值问题（即本征值0μ的情况）：1.第一类边界条件的贝塞尔方程本征值问题220201dd[]()()0(0)dd()0|(0)|RkRRRMνρρρρρρρρρ⎧+−=≤≤⎪⎨⎪=⎩(6.3.23)根据圆柱的周期性边界条件()(2π+)ϕϕΦ=Φ，则方程（6.3.23）中的0,1,2,3,mν==上述方程(6.3.23)可进一步化为施—刘型本征值问题的形式2200dd[]()()0(0)dd()0|(0)|RmRkRRRMρρρρρρρρρ⎧+−+=≤≤⎪⎨⎪=⎩(6.3.24)相应于施－刘型方程中的22(),(),(),mkxxqxxxkxρλμ==−===故施－刘型本征值问题的结论对于贝塞尔方程的本征值问题也成立．贝塞尔方程(6.3.24)的通解为()J()N()mmRABρμρμρ=+(6.3.25)若用()mnx表征J()0mx=的第n个正根，于是本征值()()()()220[][](1,2,3,)mmmmnnnnxknλμρ====(6.3.26)代入边界条件决定本征值及本征函数．因为(0)RM故0B=又0()0Rρ=，要0A≠，则必须0J()0mkρ=则J()0mx=就是决定本征值的方程.施－刘型本征值问题的结论(1)本征值存在，且都是非负的实数；12nλλλ(2)本征值可编成单调递增的序列本征值即()()()22212000()()()mmmnxxxρρρ(6.3.27)本征函数()()()12000J(),J(),,J(),mmmnmmmxxxρρρρρρ(6.3.28)（（33）对于每一个本征值）对于每一个本征值有一个相应的有一个相应的本征函数本征函数()()2[]mmnnkλ=()J()mmnkρ且本征函数()J()mmnkρ在0[0,]ρ区间上有(1)n−个零点若在区间若在区间（（44））即()()()112000()()(),,,mmmnmmmnnnxxxxxxρρρ−[0,]∞，则贝塞尔函数有无穷个零点．J()mx的零点与的零点是彼此相间分布的，即1J()mx+J()mx的任意两个相邻零点之间必有且仅有一个1J()mx+1J()mx+的零点（（55）以）以(6)(6)零点还可以用下面的公式计算零点还可以用下面的公式计算()mnx表示J()mx的第n个正零点，则()()1lim[]πmmnnnxx+→+∞−=，即J()mx几乎是以2π为周期的周期函数．()24612(1)83(4)15(4)105(4)mnBCDExAAAAA−=−++++其中其中2.2.第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件221π(2),4,731,83982377922AmnBmCBDBB=−+==−=−+32694915385515857436277237EBBB=−+−0()0Rρ′=这个条件就是00d[J()]J()0dmmkkkρρρρρ=′==（6.3.30）对于对于不过，不过，0k≠，则本征值()()20(/)mmnnxλρ=(6.3.31)其中()mnx是J()mx′的第n个零点.J()mx′的零点在一般的数学用表中并未列出.0m=的特例还是容易得到的：由公式(6.3.12)得到01J()J()xx′=−这样，这样，„„至于至于0J()x′的零点不过就是1J()x的零点，可从许多数学用表中查出．0m≠的情况,J()mx′的零点(