高考文科函数导数

2020考点六函数、导数与不等式201目录02考查角度2：导数与不等式的综合应用03考查角度3：用导数研究函数的零点问题考查角度1：用导数解决函数的单调性、极值与最值问题3用导数解决函数的单调性、极值与最值问题PART01考查角度11题型分析2刷高考原题改编题3刷最新模拟题4题型分析分析分类透析一利用导数研究函数单调性问题例1已知函数f(x)=lnx+2a(1-x).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)在(2,+∞)上为单调函数,求实数a的取值范围.5题型分析解析分析(1)对函数求导,分a≤0与a0两种情况讨论函数的单调性;(2)可考虑分两种情况:当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,符合要求;当a0时,确定出函数的单调递减区间,然后结合已知条件,建立简单的不等式求解a的取值范围.6题型分析解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1𝑥-2a.若a≤0,则f'(x)0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;若a0,则当x∈0,12𝑎时,f'(x)0,当x∈12𝑎,+∞时,f'(x)0,所以f(x)在0,12𝑎上单调递增,在12𝑎,+∞上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,符合要求;当a0时,f(x)在12𝑎,+∞上单调递减,则2≥12𝑎,即a≥14.所以实数a的取值范围是(-∞,0]∪14,+∞.7题型分析方法技巧根据单调性求参数的一般思路:①利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在区间(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;②转化为不等式恒成立问题,即“若函数f(x)在区间D上单调递增,则f'(x)≥0对∀x∈D恒成立;若函数f(x)在区间D上单调递减,则f'(x)≤0对∀x∈D恒成立”.8分析题型分析分类透析二利用导数求解函数极值问题例2已知函数f(x)=lnx+𝑎(𝑥-1)𝑥(a∈R).(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的极值.9题型分析解析分析(1)首先求导函数f'(x),然后由此得到切线斜率,进而求得切线方程;(2)首先确定函数f(x)的定义域,求出导函数f'(x),然后分a≥0与a0讨论f'(x)的符号,进而确定其极值.10题型分析解析(1)当a=1时,f(x)=lnx+𝑥-1𝑥,所以f'(x)=1𝑥+𝑥-𝑥+1𝑥2=𝑥+1𝑥2,所以f'(1)=2.又f(1)=0,所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1𝑥+𝑎𝑥-𝑎(𝑥-1)𝑥2=𝑥+𝑎𝑥2.若a≥0,则f'(x)0在(0,+∞)上恒成立,此时f(x)无极值.若a0,则当0x-a时,f'(x)0,当x-a时,f'(x)0,此时f(x)在x=-a处取得极小值,极小值为ln(-a)+a+1.11分析题型分析解析例3已知函数f(x)=ex-12x2-kx-1(k∈R).(1)若k=1,判断函数f(x)的单调性;(2)讨论函数f(x)的极值,并说明理由.分析(1)首先根据条件确定出函数f(x)的表达式,并求出导函数f'(x),然后通过判断f'(x)的正负符号确定f(x)的单调性;(2)分析导函数f'(x)的单调性和零点,进而确定原函数f(x)的极值.12题型分析解析(1)当k=1时,f(x)=ex-12x2-x-1,f'(x)=ex-x-1,设g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1,当x∈(-∞,0)时,g'(x)0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,g'(x)0,g(x)单调递增,则g(x)≥g(0)=0,即f'(x)≥0,所以f(x)在R上单调递增.(2)f(x)=ex-12x2-kx-1,f'(x)=ex-x-k,设h(x)=ex-x-k,h'(x)=ex-1,当x∈(-∞,0)时,h'(x)0,h(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,h'(x)0,h(x)单调递增.13题型分析则h(x)≥h(0)=1-k.若1-k≥0,即k≤1时,h(x)≥0恒成立,即f'(x)≥0,则f(x)在R上单调递增,f(x)无极值.若1-k0,即k1时,h(0)=1-k0,一方面,-k0,而h(-k)=e-k0,即f'(-k)0,由零点存在性定理知f'(x)在(-k,0)上有一个零点,设为x1.另一方面,f'(k)=ek-2k,设m(k)=ek-2k(k1),m'(k)=ek-2e-20,则m(k)在(1,+∞)上单调递增,则m(k)≥m(1)=e-20,即f'(k)0,由零点存在性定理知f'(x)在(0,k)上有一个零点,设为x2.所以当x∈(-∞,x1)时,f'(x)0,f(x)单调递增;当x∈(x1,x2)时,f'(x)0,f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,f'(x)0,f(x)单调递增.故此时函数f(x)有极大值点x1和极小值点x2.14题型分析方法技巧求函数f(x)的极值的一般解题步骤:①确定函数的定义域;②求导函数f'(x);③解方程f'(x)=0,求出在函数定义域内方程的所有根;④列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x=x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x=x0处取极小值.15分析题型分析分析(1)首先求导函数f'(x),然后求得切线的斜率f'(2),进而利用点斜式方程可求得切线的方程;(2)首先求导函数f'(x),然后对a分0a≤1,1a≤e,ae三种情况讨论函数f(x)的单调性,进而求得函数f(x)的最小值.解析分类透析三利用导数求函数的最值例4已知函数f(x)=e𝑥𝑥+a(lnx-x).(1)当a=0时,求y=f(x)在x=2处的切线方程;(2)当a0时,求f(x)的最小值.16题型分析解析(1)∵a=0⇒f(x)=e𝑥𝑥(x≠0),∴f'(x)=(𝑥-1)e𝑥𝑥2,∴f'(2)=e24.又f(2)=e22,∴所求切线方程为y-e22=e24(x-2),即e2x-4y=0.(2)f'(x)=(𝑥-1)(e𝑥-𝑎𝑥)𝑥2(x0),设g(x)=ex-ax(x0),a0,则g'(x)=ex-a.①当0a≤1时,g'(x)0,则g(x)g(0)=1,∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.故f(x)min=f(1)=e-a.②当1a≤e时,令g'(x)=0可得x=lna,且g(x)min=g(lna)=a(1-lna)≥0,同①,则f(x)min=f(1)=e-a.17题型分析③当ae时,由②知g(x)min=g(lna)=a(1-lna)0,g(1)=e-a0,∴g(x)=0有两个实数根x1,x2且0x11x2,∴f(x)在(0,x1)和(1,x2)上单调递减,在(x1,1)和(x2,+∞)上单调递增,∴f(x)在x=x1和x=x2处取得极小值,f(x1)=e𝑥1𝑥1+a(lnx1-x1)=a+a(lnx1-x1),又e𝑥1=ax1,∴x1=lna+lnx1,即lnx1-x1=-lna,∴f(x1)=a-alna=a(1-lna),同理f(x2)=a(1-lna),∴f(x)min=a(1-lna).综上所述,当a0时,f(x)min=e-𝑎(0𝑎≤e),𝑎(1-ln𝑎)(𝑎e).18题型分析返方法技巧用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤:①(求导函数)求函数f(x)的导函数f'(x);②(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值;③(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值;④(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值;⑤(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.19解析刷高考原题改编题1.(2019年全国Ⅲ卷,文T20改编)已知函数f(x)=lnx-2mx2-n(m为正实数,n∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有最大值-ln2,求m+n的最小值.20刷高考原题改编题解析(1)f'(x)=1𝑥-4mx=1-4𝑚𝑥2𝑥=-4𝑚𝑥+12𝑚𝑥-12𝑚𝑥,当0x12𝑚时,f'(x)0;当x12𝑚时,f'(x)0.即函数f(x)在0,12𝑚上单调递增,在12𝑚,+∞上单调递减.(2)由(1)得,f(x)max=f12𝑚=-ln(2𝑚)-2m×14𝑚-n=-ln2⇒n=-ln𝑚-12,m0⇒m+n=m-12lnm-12,m0,令g(m)=m-12lnm-12,m0,则g'(m)=1-12𝑚,令g'(m)=0,得m=12,当m∈0,12时,g'(m)0,g(m)单调递减,当m∈12,+∞时,g'(m)0,g(m)单调递增,则g(m)min=g12=12-12ln12-12=12ln2,故m+n的最小值为12ln2.21解析刷高考原题改编题2.(2019年全国Ⅱ卷,文T21)已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.22刷高考原题改编题解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=𝑥-1𝑥+lnx-1=lnx-1𝑥.因为y=lnx单调递增,y=1𝑥单调递减,所以f'(x)单调递增,又f'(1)=-10,f'(2)=ln2-12=ln4-120,故存在唯一x0∈(1,2),使得f'(x0)=0.又当xx0时,f'(x)0,f(x)单调递减;当xx0时,f'(x)0,f(x)单调递增.因此,f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x0)f(1)=-2,又f(e2)=e2-30,所以f(x)=0在(x0,+∞)内存在唯一根x=a.由ax01,得1𝑎1x0.又f1𝑎=1𝑎-1ln1𝑎-1𝑎-1=𝑓(𝑎)𝑎=0,故1𝑎是f(x)=0在(0,x0)的唯一根.综上,f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.23刷高考原题改编题解析3.(2018年北京卷,文T19改编)已知f(x)=(x-1)ex-12ax2.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求实数a的值;(2)若f(x)在x=0处取得极大值,求实数a的取值范围.24刷高考原题改编题返解析(1)因为f(x)=(x-1)ex-12ax2,f(x)的定义域为R,所以f'(x)=xex-ax,f'(1)=e-a.由题设知f'(1)=0,即e-a=0,解得a=e.此时f(1)=-e2≠0,所以a的值为e.(2)由(1)得f'(x)=xex-ax=x(ex-a).①若a1,则当x∈(-∞,0)时,ex1,ex-a0,所以f'(x)0;当x∈(0,lna)时,ex-aelna-a=0,所以f'(x)0.所以f(x)在x=0处取得极大值.②若a≤1,则当x∈(0,1)时,ex-a≥ex-10,所以f'(x)0.所以0不是f(x)的极大值点.综上可知,实数a的取值范围是(1,+∞).25解析刷最新模拟题1.(辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟)已知函数f(x)=lnx-ax-3(a≠0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有最大值M,且Ma-5,求实数a的取值范围.26刷最新模拟题解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=1𝑥-a,当a0时,f'(x)0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a0时,令f'(x)=0,得x=1𝑎,所以当x∈0,1𝑎时,f'(x)0,f(x)单调递增;当x∈1𝑎,+∞时,f'(x)0,f(x)单调递减.(2)由(1)知,当a0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无最大值,当a0