湖北省武汉外国语学校2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题

-1-武汉外国语学校2014—2015学年度下学期期末考试高一数学试题考试时间：2016-20176月日满分：150一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列3，5，9，17，33，…的通项公式na可以为（）A．n2B．12nC．12nD．12n2.已知直线1260laxy：与22(1)10lxaya：，若21//ll，则a（）A．2B．21或C．1D．23.给出下列命题：①平行于同一条直线的两直线互相平行；②平行于同一平面的两条直线互相平行；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④垂直于同一平面的两条直线互相平行．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．44.已知,,,abcd均为实数，有下列命题①若0ab，0bcad，则ac－bd＞0；②若0ab，c＜d＜0，则acbd；③若0bcad，0bd则abcdbd.其中真命题的个数是（）-2-A.0B.1C.2D.35.变量,xy满足约束条件222441xyxyxy，则目标函数z=3x+y－3的取值范围是（）A.3[,9]2B.3[,6]2C.[2,3]D.[1,6]6.点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2,1)，则直线y＝kx＋b在x．轴上．．的截距是（）A.56B.56C.16D.167.已知等差数列{}na的前n项和nS满足65SS且876SSS，下列结论错误．．的()A．6S和7S均为nS的最大值.B．07aC．公差0dD．59SS8.过点2,1P的直线l与坐标轴分别交,AB两点，如果三角形OAB的面积为4，则满足条件的直线l最多有（）条A.1B.2C.3D.49.已知数列{na}的前n项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11nnbaSnnn其中,ab是非零常数，则存在数列{nx}、{ny}使得（）A．}{,nnnnxyxa其中为等差数列，{ny}为等比数列B．}{,nnnnxyxa其中和{ny}都为等差数列C．}{,nnnnxyxa其中为等差数列，{ny}都为等比数列-3-D．}{,nnnnxyxa其中和{ny}都为等比数列10.已知点)3,2(A、)2,3(B，直线l过点)1,1(P，且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值k范围是（）A.34k或4kB.34k或14kC.434kD.443k11.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出//AB平面MNP的图形的序号是()①②③④A．①、②B．①、③C．②、③D．②、④12.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3AMMMBNPAMMMBNPPAMMMBNAMMMBNP-4-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.设Ryx,，1,1ba，若3yxba，32ba，则yx11的最大值是14.所有棱长均为2的三棱柱111CBAABC中，01160ACAABA，则三棱柱111CBAABC的表面积．．．为________________15.已知,xy满足05030xyxyy，若不等式22axyxy恒成立，则a的最大值为16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分11分）已知函数baxxxf2)(（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k1，解关于x的不等式：xkxkxf2)1()(-5-18.（本小题满分11分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润为900元，每1吨乙种棉纱的利润为600元.工厂在生产这两种棉纱的计划中，要求消耗一级籽棉不超过250吨，二级籽棉不超过300吨.问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大？并求出利润总额的最大值.19.（本小题满分11分）如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC＝２，BC＝2，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求异面直线AD与BE所成角的余弦．20.（本小题满分11分）已知数列{na}的前n项和为nS，1a=1，0na，11nnnaaS，其中为常数.(1)证明：2nnaa；PADCE-6-(2)是否存在，使得{na}为等差数列？并说明理由.21.（本小题满分12分）已知ABC中，BC边上的高所在的直线方程为210xy，A的角平分线所在的直线方程为0y，点C的坐标为(1,2)．（1）求点A和点B的坐标；（2）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点,MN，求MON的面积最小值及此时直线l的方程.22.（本小题满分14分）已知数列na中，12a，对任意的,pqN，有pqpqaaa.(1)求数列na的通项公式；(2)数列nb满足1312423412121212121nnnnbbbbbanN,求数列nb的通项公式；(3)设3nnnCbnN，是否存在实数，当nN时，1nnCC恒成立，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由。-7-解：（1）解法一：由221nnaS得，当1n时，211aS，解得1110aa或（舍去）…………（1分）当2n时，223aS，解得21dd或，因为0na，所以1d舍去………………（3分）所以11,2,21,*nadannN………………（4分）解法二：因为221nnaS且12121(21)(21)2nnnaaSnna，……………（2分）所以2(21)nnana，即21,*nannN………………（4分）（2）（ⅰ）由（1）得211(21)(21)2121nbnnnn所以1111112(1)()...[]133521212121nnTnnnn……（7分）（ⅱ）由（ⅰ）得28(1)21nnnn恒成立，可知2021nn，所以21[8(1)]2nnnn恒成立，……（9分）令21()[8(1)]2nnfnnn，则min()fn当n为偶数时，214171725()(8)42222nfnnnnn当且仅当4nn，即2n时，min25()2fn，所以252；……（11分）当n为奇数时，21415()(8)22nfnnnnn-8-可知()fn随n的增大而增大，所以min21()(1)2fnf，所以212；…（13分）综上所诉，的取值范围是21(,)2……（14分）解答：设生产甲、乙两种棉纱分别为x、y吨，利润总额为z，则z＝900x＋600y且225023000,0xyxyxy作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域.作直线l：900x＋600y＝0，即3x＋2y＝0，把直线l向右上方平移至过直线2x＋y＝250与直线x＋2y＝300的交点位置M（3200，3350），此时所求利润总额z＝900x＋600y取最大值130000元19．解：（Ⅰ）因为点A在BC边上的高210xy上，又在A的角平分线0y上，所以解方程组210,0,xyy得(1,0)A.……………2分BC边上的高所在的直线方程为210xy，2BCk，点C的坐标为(1,2)，所以直线BC的方程为240xy，1ACk，1ABACkk，所以直线AB的方程为10xy，解方程组10240xyxy得(5,6)B,故点A和点B的坐标分别为(1,0)，(5,6)．……………6分xyOM3x＋2y＝0-9-（Ⅱ）依题意直线的斜率存在，设直线l的方程为：2(1)(0)ykxk，则2(,0),(0,2)kMNkk，所以1214(2)(4)22MONkSkkkk11[42(4)]42kk，当且仅当2k时取等号，所以min()4AOBS，此时直线l的方程是240xy．……………12解：（1）将0124,3221xbaxxxx分别代入方程得).2(2)(,2184169392xxxxfbababa所以解得（2）不等式即为02)1(,2)1(222xkxkxxkxkxx可化为即.0))(1)(2(kxxx①当).,2(),1(,21kxk解集为②当);,2()2,1(0)1()2(,22xxxk解集为不等式为时③),()2,1(,2kxk解集为时当17.(本小题满分12分)已知数列{na}的前n项和为nS，1a=1，0na，11nnnaaS，其中为常数.(Ⅰ)证明：2nnaa；（Ⅱ）是否存在，使得{na}为等差数列？并说明理由.(Ⅰ)由题设11nnnaaS，1211nnnaaS，两式相减121nnnnaaaa，由于0na，所以2nnaa…………6分（Ⅱ）由题设1a=1，1211aaS，可得211a，由(Ⅰ)知31a假设{na}为等差数列，则123,,aaa成等差数列，∴1322aaa，解得4；证明4时，{na}为等差数列：由24nnaa知-10-数列奇数项构成的数列21ma是首项为1，公差为4的等差数列2143mam令21,nm则12nm，∴21nan(21)nm数列偶数项构成的数列2ma是首项为3，公差为4的等差数列241mam令2,nm则2nm，∴21nan(2)nm∴21nan（*nN），12nnaa因此，存在存在4，使得{na}为等差数列.………12分证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC，又∠BCD=900，CD⊥BC，所以BC⊥平面PCD，故PC⊥BC。（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。易知DF=22，故点A到平面PBC的距离等于2。（方法二）体积法：APBCPABCVV，PBCABCShSPD，1112211222hh，故点A到平面PBC的距离等于2。-11-