2020年高考数学一轮复习《解三角形》

12020年高考数学一轮复习《解三角形》第1页共22页2020年高考数学一轮复习《解三角形》考纲解读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.命题趋势探究1.本节为高考的必考和重点考查内容，在选择题、填空题和解答题中都有出现，并越来越成为三角函数部分的核心考点.2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三是最值问题.题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.知识点精讲在ABC中，角,,ABC所对边依次为,,.abc1.角的关系180,sinsin()ABCABCcoscos(),tantan(),ABCABCsincos,cossin.2222ABCABC2.正弦定理2(2sinsinsinabcRRABC为ABC的外接圆的直径）.正弦定理的应用：①已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若ab,已知角Ａ求角Ｂ.1,sin1,21,BB无解；两解（一锐角、一钝角）若a〉b,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理2222coscababC（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）222cos2abcCab（已知三边求角）.余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边；②已知三边求角；③已知两边及一边对角不熟第三边.4.三角形面积公式22020年高考数学一轮复习《解三角形》第2页共22页1111sinsinsin.2222ABCSahabCbcAacB题型归纳及思路提示题型67正弦定理的应用思路提示（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；.sin1sinsin1AAA大角求小角一解（锐）两解－（一锐角、一钝角）小角求大角－一解－1（直角）无解－（3）两边一对角，求第三边.一、利用正弦定理解三角形例4.39已知ABC中，53cos,sin,1135ABa求cosC及边长c分析已知两角及一边用正弦定理.解析因为,,ABC为ABC的内角，所以有coscos[()]cos()CABABcoscossinsin.ABAB因为(0,),A且5cos0,13A所以(0,),2A12sin13A.由此知sinsin0,AB据正弦定理得ab所以,AB因此(0,),2B且3sin,5B得4cos,5B故5412316cos.13513565C因此63sin.65C由正弦定理得,sinsincaCA得631sin2165.12sin2013aCcA评注本题已知两角及一边，用正弦定理：在ABC中，sinsin.ABabAB变式1在ABC中，角,,ABC所对边依次为,,,2,2,abcabsincos2,BB则角Ａ的大小为.分析已知两边一对角求另一对角，利用正弦定理。解析由sincos2BB得，2sin24B，即sin14B，又0,B故424BB，又,ab故AB32020年高考数学一轮复习《解三角形》第3页共22页221,,sin,0,,sinsinsin22622abAAAABA例4.40在ABC中，角,,ABC所对边依次为,,,30,6,abcBc记().bfa若函数()()(gafakk是常数）只有一个零点，则实数k的取值范围是（）..{03Akk或6}k.{36}Bkk.{6}Ckk.{6Dkk或3}k分析三角形问题首先根据题意画出三角形，ＡＣ的最小值为ＢＣ边的垂线段，再根据零点的意义及函数求解.解析由()()0,gafak且().bfa，得(),kfab如图4－34所示，由30,6,Bc知ＡＣ边和的最小值为sin3,cB唯一的()aBC符合()fak即若3,k则()3,fab此时存在函数()ga有唯一零点，若36k时，则()(3,6),fab此时以点Ａ为圆心，b边为半径的圆与ＢＣ边及延长线有两个交点12,CC，如图4－34所示，则存在两个a值1122(,),aBCaBC使得()()gafak有两个零点.若6k时，则()6,fab则以点Ａ为圆心，b边为半径的圆与ＢＣ边及延长线（除点Ｂ外）只有一个交点3C，使得3aBC，故函数()ga有唯一零点.综上，实数k的取值范围为3k或6.k故选Ｄ.评注三角形问题一般先根据题意作出图形，抓住已知量，充分想到三角形的边角关系及正弦定理，并尽可能转化和构造直角三角形.变式1（1）在ABC中，已知角,,ABC所对的边分别为,,,abc且32,2,ba如果三角形有解，则角A的取值范围是;解析（1）解法一：在ABC中，由正弦定理得sinsinabAB，得asin2sinsin2BABb，又sin0,1B，故2sin,2Ao，且AB,则角的取值范围是,4o解法二：（图像法）由题意22,2ACBC先固定好边AC，则点必在为圆心，半径2r42020年高考数学一轮复习《解三角形》第4页共22页的圆周上（如图4-52（a）所示），有A,B,C构成三角形，B不在AC所在的直线上，则AB边所在的临界位置如图4-52（a）所示，此时11ABBC且4A，再结合对称性，角的取值范围是,4o。(2)在ABC中，已知角,,ABC所对的边分别为,,,abc且1,2,ba如果三角形有解，则角B的取值范围是;如（1）中解法二知，由题意2,1BCAC，先固定好长边BC，则点A必在以C为圆心，AC1为半径的圆上，如图4-52（b）所示，此时11ABAC且6B，再结合对称性，角的取值范围是0,6.（3）在ABC中，已知角,,ABC所对的边分别为,,,abc且23,3,ac如果三角形有解，则角C的取值范围是.由题意知23,3BCAB,先固定好长边，则点必在以为圆心，3为半径的圆上，如图4-52()所示，且点不在所在的直线上，则边的临界位置如图4-52()，此时CBBA11，且3C,再结合对称性，角的取值范围是3,0。(b)(a)BACB1A1CBA52020年高考数学一轮复习《解三角形》第5页共22页(c)CA1BA图4-52变式2在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，若2ca，1sinsinsin2bBaAaC，则sinB为（）A．74B．34C．73D．13因为1sinsinsin2bBaAaC,所以由正弦定理可得:2212baac，又2222212,43,2caacbaaca利用余弦定理可得:222233cos,2224acbaBacaa由于0B,解得:297sin1cos1164BB,故选A.二、利用正弦定理进行边角转化例4.41在ABC中，若A=2B，则ab的取值范围为（）.A.(1,2).(1,3)BC.(2,2)D.(2,3)分析题中有边与角的关系及角的范围，可考虑用正弦定理转化为角的关系，再由角的范围来定边的范围.解析由正弦定理知sinsin22cosB,sinsinBaABbB且()(0,),AB即03B得03B，因此1cos(,1),2B所以(1,2).ab故选A.评注在ABC中，利用正弦定理2sinsinsinabcRABC，进行边与角的转化，在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式来求解.62020年高考数学一轮复习《解三角形》第6页共22页变式1（1）若在锐角ABC中，若A=2B，则ab的取值范围为;（2）若在直角ABC中，若A=2B，则ab的取值集合为;（3）若在钝角ABC中，若A=2B，则ab的取值集合为.解析由正弦定理知BBBBAbacos2sin2sinsinsin(1)若ABC为锐角三角形，则,20B,2)(0BA因此，23020220BBB,,46B23,22cosB所以ba的取值范围为3,2.（2）若ABC为直角三角形，则2,2CA或若2A,则4B2cos2Bba若2C则6B3cos2Bba所以ba的取值集合为3,2(3)若ABC为钝角三角形，则角为钝角或角为钝角。若角为钝角，则,2A即,22B,2)(0BA得,34B22,21cosB所以2,1cos2Bba若角为钝角，则,)(2BA且,20A因此,32B,230B所以,60B因此1,23cosB所以a2cosB3,2b所以ba的取值范围为1,23,2.变式2在ABC中，60,3BAC，则AB+2BC的最大值为.解析由正弦定理知,sin60sin3sinABCCAB所以,sin2,sin2ABCCAB又120CA72020年高考数学一轮复习《解三角形》第7页共22页所以.722)1200(,23tan),sin(72)cos3sin2(2)sincos3(sin2)120sin(4sin22的最大值为，因此，是第一象限角其中BCABCCCCCCCCCBCAB变式3已知,,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，cos3sin0aCacbc，（1）求A；（2）若2a，ABC的面积为3，求,bc.解析（1）由0sin3coscbCaCa及正弦定理得0sinsinsinsin3cossinCBCACA因为AB所以30331sinAsinCsinAcosCsin(AC)sinC,sinAsinCcosAsinCsinC,sinAcosA,所以3021)6sin(AAA故又(2)ABC的面积4,343sin21bcbcAbcS故28cos22222222cbcbbccbAbccba解得故而变式4在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,abc已知4A，sin()sin(),44bCcBa（1）求证：;2BC（2）若2a，求ABC的面积.（1）证明由正弦定理得,22sin)4sin(sin)4sin(sinABCCB2)0(,,1)sin(,1sincoscossinCBCBCBCBCB故，又所以(2)由354488BC,BCBC，得，，，,sinsinsin2sin)sin2)(sin2(21sin212CBARACRBRAbcS82020年高考数学一轮复习《解三角形》第8页共22页,1,2222sin2RAaR,214sin228cos8sin28sin85sin222ABCS题型68余弦定理的应用思路提示(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，若余弦值0,ABC0,ABC.0,ABC则为锐角三角形则为直角三角形则为钝角三角形一、利用余弦定理解三角形例4.42在ABC中，21,3,3bcC，则①a=.②______.B分析已知两边一对角，求第三边用余弦定理，求另一对角用正弦定理.解析①由余弦定理得，2222coscababC，得21312()2aa