路灯照明问题

2、路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？摘要本题利用方程（组）模型，求两只路灯连线的路面上的最暗点和最亮点。通过查阅资料可知光照强度公式为2sinrpkI，根据题意可建立坐标轴，假设两只路灯在道路上的照射半径的长度之和为20m，可得路面上某点的照度为两只路灯在该点的照度之和。列出方程，利用MATLAB软件进行求解，求出该方程的最值（即最暗点与最亮点及其亮度）。关键词：路灯照明方程（组）MATLAB程序最值一、问题重述在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？二、模型假设1.假设路灯的光照强度2sinrpkI；2.假设两路灯在路上的照射半径长度之和为20m；3.假设路灯为同一型号；4.假设把两个路灯视为质点；5.假设忽略对路灯光照强度其他因素的影响；6.假设路灯正常工作；7.假设把两只路灯连线的路面视为一条直线；三、变量说明K………………………………路灯光照强度系数P…………………………………路灯的功率S………………………………道路的宽度αi………………………………路灯光线与地面的夹角Ri………………………………路灯到路面上某点的距离hi………………………………路灯离地面的垂直距离X………………………………2KW路灯的投影到路面上某点的距离I(X)………………………………路面上某点的光照强度Ii………………………………路灯光照强度四、问题分析问题一根据两路灯间的距离关系建立坐标轴，利用路灯光照强度的计算公式列出方程，再用MATLAB软件求解。问题二由于h2的高度可变，在问题一建立的方程的基础上，先对X求偏导，再对h2求偏导，最后用MATLAB软件编程求解。问题三因为h1和h2的高度都可变，同问题二，依次对X，h1，h2求偏导。五、模型的建立由题意可得下图XSP1P2R1α1α2QyxOR2h1h2假定路灯光照强度系数k=1。问题一：由题意得，设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q点的照度分别为21111sinRpkI22222sinRpkI22121xhR111sinRh22222)(xshR222sinRhQ点的照度：3232322222322111))20(36(18)25(10))((()(()(xxxshhPxhhPxI要求最暗点和最亮点，即求函数I(x)的最大值和最小值，则可先求出函数的极值点5252522222522111'))20(36()20(54)25(30))(()(3)(3)(xxxxxshxshPxhxhPxI利用MATLAB求得0)('xI时x的值代码：s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))');s1=vpa(s,8);s1运行结果：s1=19.976695819.3382991368.538304309-11.61579012*i.2848997038e-18.538304309+11.61579012*i因为x=0，选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的I(x)的值，如下表：x00.0284899709.338299119.97669520I(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468综上所述，x=9.33m时，为最暗点；x=19.97m时，为最亮点。问题二：3KW的路灯的高度可以在3M到9M之间变化变化时，Q点的照度为关于x和h2的二元函数：32222323222223221112))20((3)25(10))(()(),(xhhxxshhPxhhPhxI与（1）同理，求出函数I(x,h2）的极值即为最暗点和最亮点0))((3))((5222222322222xshhPxshPhI利用matlab求得x：solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')ans=20+2^(1/2)*h20-2^(1/2)*h即x1=20+2^(1/2)*h（舍去）x2=20-2^(1/2)*h0))20(()20(9)25()220(30-))(()(3)(35222252522222522111xhxhxhxshxshPxhxhPxI利用matlab求解h2solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0')ans=7.422392889676861255710450993296514.120774098526835657369742179215因为h在3~9之间，所以h2=7.42239m再利用matlab求解x和亮度I算法：h=7.42239;x=20-2^(1/2)*hI=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))结果：x=9.5032I=0.0186可得，x=9.5032，h2=7.42239时，最暗点的亮度最大，为0.0186w。问题三:如果两只灯的高度均可在3M到9M之间变化，则I为关于x,h1,h2的三元函数，同解可得32222232211121))(()(),,(xshhPxhhPhhxI0)(3)(5221211322111xhhPxhPhI0))20((9))20((3))((3))((52222232225222222322222xhhxhxshhPxshPhI0))20(()20(9)(6))(()(3)(35222252211522222522111xhxhxhxhxshxshPxhxhPxIxh211)20(212xh252211252222)(2])20([)20(3xhxhxhxh2522225222)21(22])20()20(21[()20(23xxxxxx=3332)20(1xx利用matlab求解x，h1，h2的值：算法：solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))');s1=vpa(s,6);a=(1/sqrt(2))*s1;a1=double(a);b=(1/sqrt(2))*(20-s1);b1=double(b);a1,b1,s1结果：a1=6.59405.1883+12.0274i5.1883-12.0274ib1=7.54828.9538-12.0274i8.9538+12.0274is1=9.325307.33738+17.0093*i7.33738-17.0093*i可得，h1=6.5940，h2=7.5482，x=9.32530时，最暗点的亮度最大六、模型评价优点：通过查阅资料，可得出题中未给出的路灯光照强度计算公式，问题二、问题三的逐步深入，使得题目较为应用化和意义化，增强了题目的应用价值，通过该题我们也可以用来设置需要灯光的建筑物的位置。缺点：该模型的路灯光照强度计算公式考虑不周全，存在一定的主观因素。例如路灯不是质点，会对路灯到路面上某点的距离造成影响，将比例系数K设为1也存在一定误差。七、参考文献[1]宗荣、施继红、尉洪、李海燕.数学实验.云南大学出版社.2009年12月第1版