一元一次不等式的解法(提高)知识讲解

一元一次不等式的解法（提高）知识讲解撰稿：孙景艳责编：吴婷婷【学习目标】1．理解一元一次不等式的概念；2.会解一元一次不等式．【要点梳理】【高清课堂：一元一次不等式370042一元一次不等式】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x是一个一元一次不等式．要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1．(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：ax（或ax）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为axb（或axb）的形式（其中0a）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：[来源:]①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；[来源:数理化网]②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．要点诠释：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？（1）0x（2）1x1（3）2x2（4）3yx（5）1x【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断．【答案与解析】解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知量的最高次项不是1次，（4）不等式左边含有两个未知量，（5）不是不等式，是一元一次方程．【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．类型二、解一元一次不等式2.解不等式：25x03.0x02.003.05.09.0x4.0，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】先用分数的基本性质，将分母变为整数，再去分母，在去分母时注意分数线兼有括号的作用．【答案与解析】解：将分母变为整数，得：25x3x2359x4去分母，得：)5x(15)x23(10)9x4(6去括号，合并同类项，得：99x11[来源:]系数化1，得：9x这个不等式的解集表示在数轴上，如下图：【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向．举一反三：【变式】解不等式：2x]2)14x(32[23【答案】解：去括号，得2x314x移项、合并同类项得：6x43系数化1，得8x故原不等式的解集是8x3.m为何值时，关于x的方程：6151632xmmx的解大于1？【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m表示x），然后解不等式．【答案与解析】[来源:]解：x-12m+2=6x-15m+35x=3m-1315mx由3115m解得m＞2【总结升华】此题亦可用x表示m，然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围．举一反三：【变式】已知关于x方程3x23mx2x的解是非负数，m是正整数，则m．【答案】1或24.已知关于y,x的方程组1py3x41py2x3的解满足yx，求p的取值范围．【思路点拨】先解出方程组再解不等式．【答案与解析】解：由1py3x41py2x3，解得：7py5px∵yx∴7p5p解得6p∴p的取值范围为6p【总结升华】有时根据具体问题，可以不必解出y,x的具体值．类型三、解含字母的一元一次不等式5．解关于x的不等式：(1-m)xm-1【思路点拨】由此不等式的结构，这里只需将未知数的系数化1即可，两边同时除以（1-m），但由不等式的基本性质我们知，若不等式两边同时除以一个负数，原不等号的方向得改变，这里1-m的符号我们不知道？故需分类讨论．[来源:]【答案与解析】解：当1-m＞0既m＜1时，原不等式的解集为：x＞-1；当1-m＜0既m＞1时，原不等式的解集为：x＜-1；当1-m=0既m=1时，没有数能使得不等式成立，故原不等式无解．【总结升华】不难发现，我们可以总结概括，如下：若ax＞b（a≠0），当0a时，不等式的解集是bxa；当0a时，不等式的解集是bxa．举一反三：【变式1】解关于x的不等式m（x-2）＞x-2.【答案】解:化简，得（m-1）x＞2（m-1），①当m-1＞0时，x＞2；②当m-1＜0时，x＜2；③当m-1=0时，无解.【高清课堂：一元一次不等式370042例8】【变式2】(1)已知x＜a的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是______；(2)已知x＞a的解集中最小整数为－2，则a的取值范围是______．【答案】（1）3＜a≤4；（2）﹣3≤a＜﹣2．类型四、逆用不等式的解集6.若关于x的不等式nmx的解集为53x，则关于x的不等式0n5mx)nm2(的解集．【思路点拨】先根据第一个不等式确定n,m的关系或符号，再代入第二个不等式进行求解．【答案】710x【解析】解：由nmx的解集为53x可知得：0m，53mn，即m53n将上式代入0n5mx)nm2(，化简整理得：m2mx57，又0m所以710x【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定0m．举一反三：【变式】已知ax的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是．【答案】4a3