2015年中考数学试题及答案

2015年中考数学数学试题卷本卷共六大题，24小题，共120分。考试时间120分钟一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、比－2013小1的数是（）A、－2012B、2012C、－2014D、20142、如图，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3＝（）A、70°B、65°C、60°D、55°3、从棱长为a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为0.5a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的左视图是（）A、B、C、D、4、某红外线遥控器发出的红外线波长为0.00000094m，用科学计数法表示这个数是（）A、9.4×10－7mB、9.4×107mC、9.4×10－8mD、9.4×108m5、下列计算正确的是（）A、(2a－1)2=4a2－1B、3a6÷3a3＝a2C、(－ab2)4＝－a4b6D、－2a＋(2a－1)＝－16、某县盛产枇杷，四星级枇杷的批发价比五星级枇杷的批发价每千克低4元。某天，一位零售商分别用去240元，160元来购进四星级与五星级这两种枇杷，其中，四星级枇杷比五星级枇杷多购进10千克。假设零售商当天购进四星级枇杷x千克，则列出关于x的方程为（）A、240x＋4＝160x－10B、240x－4＝160x－10C、240x－10＋4＝160xD、240x－10－4＝160x二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7、因式分解：xy2－x＝。8、已知x＝1是关于x的方程x2＋x＋2k＝0的一个根，则它的另一个根是。9、已知2x3y＝13，则分式x－2yx＋2y的值为。10、如图，正五边形ABCDE，AF∥CD交BD的延长线于点F，则∠DFA＝度。11、已知x＝5－12，y＝5＋12，则x2＋xy＋y2的值为。12、分式方程3－xx－4＋14－x＝1的解为。13、现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为。14、如图，正方形ABCD与正方形AEFG起始时互相重合，现将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，设旋转角∠BAE＝α（0°＜α＜360°），则当α＝时，正方形的顶点F会落在正方形的对角线AC或BD所在直线上。θ40cm10cm312l1l2BDACEFGAFCBGDE正面三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15、解不等式组－2x＋1≤－1……（1）1＋2x3＞x－1……（2），并把它的解集在数轴上表示出来。16、某公园内有一矩形门洞（如图1）和一圆弧形门洞（如图2），在图1中矩形ABCD的边AB，DC上分别有E、F两点，且BE＝CF；在图2中上部分是一圆弧，下部分中AB∥CD，AB＝CD，AB⊥BC。请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．分别画出图1，2的一条对称轴l。17、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），其中a＞0，b＞0，以线段AB为一边在第一象限内作菱形ABCD，使其一对角线AC∥y轴。（1）请求出点C与点D的坐标；（2）若一反比例函数图象经过点C，则它是否一定会经过点D？请说明理由。18、某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样。规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回）。某顾客刚好消费200元。（1）写出此情境下的一个必然事件；（2）请你用画树形图或列表格的方法，列出该顾客所获得购物券的金额的所有结果；（3）请你求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率。四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19、如图，这是学校在学生中征集的生物园一侧围栏纹饰部分的设计图案。其中每个圆的半径均为15cm，圆心在同一直线上，且每增加一个圆形图案，纹饰长度就增加bcm，围栏左右两边留有等距离空隙acm（0≤a＜15）（1）若b＝25，则纹饰需要201个圆形图案，求纹饰的长度y；（2）若b＝24，则最多需要多少个这样的圆形图案？图2AOBDCO1xy·FE·ABCDADBC图1……ybaa·O20、如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB＝43cm，CF＝42cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°。求两根较粗钢管AD和BC的长。（结果精确到0.1cm。参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73）21、某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达6分以上（含6分）为合格，达到9分以上（含9分）为优秀。这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下。（1）补充完成下列的成绩统计分析表：组别平均分中位数方差合格率优秀率甲6.73.4190%20%乙7.580%10%（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小明是组学生；（填“甲”或“乙”）（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组。但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组。请你给出两条支持乙组同学观点的理由。五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22、如图1，在在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB相切于动点P，连接CP。（1）当⊙O与直角边AC相切时，如图2所示，求此时⊙O的半径r的长。（2）随着切点P的位置不同，弦CP的长也会发生变化，试求出弦CP的长的取值范围。（3）当切点P在何处时，⊙O的半径r有最大值？试求出这个最大值。·ABOPC·ABOPC图1图260°80°FABCDEMGN图1图213512345678910成绩/分52460学生人数/人甲组乙组23、（1）抛物线m1：y1＝a1x2＋b1x＋c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如下表：x…－2－11245…y1…－5043－5－12…设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为，点C的坐标为。（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2＝a2x2＋b2x＋c2，则当x＝－3时，y2＝。（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3。设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧）。过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K。问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由。六、（本大题共1小题，共12分）24、数学复习课上，张老师出示了下框中的问题：已知：在Rt△ACB中，∠C＝90°，点D是斜边AB上的中点，连接CD。求证：CD＝12AB。问题思考（1）经过独立思考，同学们想出了多种正确的证明思想，其中有位同学的思路如下：如图1，过点B作BE∥AC交CD的延长线于点E。请你根据这位同学的思路提示证明上述框中的问题。方法迁移（2）如图2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E是线段AC上一动点，连接DE，线段DF始终与DE垂直且交BC于点F。试猜想线段AE，EF，BF之间的数量关系，并加以证明。拓展延伸（3）如图3，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E是线段AC延长线上一动点，连接DE，线段DF始终与DE垂直且交CB延长线于点F。试问第（2）小题中线段AE，EF，BF之间的数量关系会发生改变吗？若会，请写出关系式；若不会，请说明理由。EBCADCABDFECABDCAFEDB图1图2图32015年数学中考模拟试题答案一、选择题1、C2、B3、C4、A5、D6、A二、填空题7、x(y＋1)(y－1)；8、－29、－3510、3611、412、x＝313、18°14、60°或180°或300°（每填对一个给1分，答错不给分）三、15、解集为1≤x＜4。……4分数轴表示……6分16、如图，直线l为所求直线。画对图1中的对称轴给3分，画对图2中的给3分17、（1）点C坐标为（a，2b），点D坐标为（2a，b）…………3分（2）必经过点D，理由略。…………6分18、（1）答案不唯一，叙述合理即可。如顾客在此活动中一定能获得购物券。……2分（2）树形图或列表略。可能出现的结果共有12种。分别是10元、20元、30元、10元、30元、40元、20元、30元、50元、30元、40元、50元。…………5分（3）P(所获购物券金额不低于30元)＝812＝23。…………6分四、19、（1）y＝15×2＋(201－1)b＝30＋200×25＝5030(cm)…………3分（2）设需要x个这样的圆形图案，则30＋(x－1)×24≥503030＋(x－1)×24＜5030＋30解得：20916≤x＜210712。所以最多需要210个这样的圆形图案。…………8分（其他解法只要合理同样给分）20、如图，过F作FT⊥MN于T。BF＝FTsin60°≈420.87≈48.28（cm）∴BC＝BF＋FC≈48.28＋42≈90.3（cm）……3分过D作DP⊥AB于P，则AP＝DPtan80°，PB＝DPtan60°，∴DPtan80°＋DPtan60°＝AP＋PB＝43，求得DP≈57.0cm·FE·ABCDADBCADBCll或l60°80°FABCDEMGNTP012345则AD＝DPsin80°≈58.2cm。答：钢管AD的长为58.2cm，BC的长为90.3cm。…………8分21、（1）甲组中位数6乙组平均数7.1方差1.69…………6分（2）甲…………7分（3）①乙组同学平均分高于甲组；②乙组同学的成绩方差小，比甲组稳定，而且集中在中上游。…………8分。五、22、（1）如图1，连接OP，易证△ACB∽△OPB，∴OPAC＝OBAB，进而可得：r3＝4－r5，可得：r＝32……3分（2）如图2，过点C作CE⊥AB于E由S△ACB＝12AC·BC＝12AB·CE可求得CE＝125所以当点P运动到与点E重合时，根据垂线段最短，可知此时CP最小，等于125……4分又当点P运动至与点B重合时，此时CP最大，等于4。……5分∴弦CP的长的取值范围是125≤CP≤4…………6分（3）如图3，当点P运动至与点B重合时，⊙O的半径最大。过点O作OD⊥CB于点D。可得△ACB∽△BDO∴OPAB＝DBAC，进而可得：OP5＝23，∴OP＝103。此时r最大为103。………………9分23、（1）（1，4）；（0，3）…………4分（2）12……………………6分（3）存在，K（10，3）或（－10，3）…………9分六、24、（1）提示：证△ACD≌△BED和△ACB≌△EBC得证；…………3分。（2）线段AE，EF，BF之间的数量关系是：AE2＋BF2＝EF2。……4分如图1，过B作BG∥AC交ED的延长线于点G，连接FG。通过证△ADE≌△BDG，和在Rt△BFG中，得到AE2＋BF2＝EF2。……8分（3）线段AE，EF，BF之间的数量关系不会发生改变，仍有AE2＋BF2＝EF2。…………9分。理由如下：如图2，过A作AG∥BC交FD的延长线于点G，连接EG。类似（2）问，通过证△ADG≌△BDF，将AE，BF，EF移至Rt△AEG中，可得AE2＋BF2＝EF2。…………12分。·ABOPCABCP(E)O图1图2ADCB(P)O图3CABDFEG图1GCAFEDB图2