初三锐角三角函数复习讲义

锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=900,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA∠A的余弦可表示为：cosA∠A的正切可表示为：tanA，它们称为∠A的锐角三角函数①斜边)(sinA＝______，②斜边)(cosA＝______，③的邻边AA)(tan＝______，【特别提醒：1、sinA、cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关。2、取值范围sinA，cosA，tanA例1.锐角三角函数求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，43sinAOC求：AB及OC的长．类型二.利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．2．如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．455.如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC，则sinB的值是（）A．23B．32C．34D．436.如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB，10BC，AB=8,则tanEFC∠的值为()Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45ADECBF第18题图7.如图6，在等腰直角三角形ABC中，90C，6AC，D为AC上一点，若1tan5DBA，则AD的长为()A．2B．2C．1D．22DCBAOyx第8题图类型三.化斜三角形为直角三角形1.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）3.ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，则△ABC的面积是（）A.23cm2B.43cm2C.63cm2D.12cm2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．2552．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.3．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到''BAC，则'tanB的值为（）A.41B.31C.21D.14．正方形网格中，AOB∠如图放置，则tanAOB∠的值是（）A．55B.255C.12D.2CBAABO图2知识点二：特殊角的三角函数值当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1.计算：30cos245sin60tan22.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°3．计算：030tan2345sin60cos2214．计算：tan45sin301cos60例2．求适合下列条件的锐角．(1)21cos(2)33tan(3)222sin(4)33)16cos(6（）已知为锐角，且3)30tan(0，求tan的值（）在ABC中，0)22(sin21cos2BA，BA，都是锐角，求C的度数例3.三角函数的增减性1．已知∠A为锐角，且sinA21，那么∠A的取值范围是A.0°A30°B.30°A＜60°C.60°A90°D.30°A90°2.已知A为锐角，且030sincosA，则（）A.0°A60°B.30°A60°C.60°A90°D.30°A90°锐角30°45°60°sincostan类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，1312sinA求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，3BCAC，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．3.已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，31tanB，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，53sinB，点D在BC边上，DC=AC=6，求tan∠BAD的值．5.（本小题5分）如图，△ABC中，∠A=30°，3tan2B，43AC．求AB的长.DCBAACB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________．③边与角之间的关系：BAcossin______；BAsincos_______；BAtan1tan_____；BAtantan1______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．(1)已知：32a，2b，求∠A、∠B，c；(2)已知：32sinA，6c，求a、b；（3）．已知：△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．类型六：解直角三角形的实际应用仰角与俯角1．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米2．在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）图13ABCD45°30°3.如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.ABCDE4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1米．参考数据：21.414，31.732)5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100mB．1003mC．150mD．503m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为i=1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα=37，升旗台高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度.3.如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时.(1)求对学校A的噪声影响最大时,卡车P与学校A的距离;(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪影响的时间.30°80米OMNAP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC=4米，AB=6米，中间平台宽度DE=1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，αABDCEFiFC=1:10DF⊥BC于F，∠CDF=45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。(参考数据：21.414,31.732,62.449)方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13)2.如图9所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西600的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西300）以vkm/h的速度驶离港口D．同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东300的方向45°31°CFDEBMNA以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．3．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．类型七：综合题三角函数与四边形（西城二模）1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=63．(1)求BD的长；(2)求AD的长．2．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=245，3sin5BAE，求CF的长．三角函数与圆1.已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,(1)求证：∠AOD=2∠C(2)若AD=8，tanC=34，求⊙O的半径。2..如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相