考点12函数模型及其应用教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点12函数模型及其应用1、某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p＋q2B．（p＋1）（q＋1）－12C.pqD．（p＋1）（q＋1）－1【答案】D【解析】设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p＋1)(q＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(p＋1)(q＋1)，解得x＝（p＋1）（q＋1）－1，故选D.2、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H＋][OH－]可以为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A.12B．13C．16D．110【答案】C【解析】∵[H＋]·[OH－]＝10－14，∴[H＋][OH－]＝[H＋]2×1014，∵7.35－lg[H＋]7.45，∴10－7.45[H＋]10－7.35，∴10－0.9[H＋][OH－]＝1014·[H＋]210－0.7，10－0.9＝1100.9110，lg(100.7)＝0.7lg3lg2，∴100.732，10－0.71312，∴110[H＋][OH－]13.故选C.3、一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A．①B．①②C．①③D．①②③2【答案】A【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.4、某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【答案】C【解析】由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，∴e11k＝4819212＝1412＝12.设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×123＝24(小时)．5、某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝x4，Q＝a2x(a0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为()A.5B．5C．2D．2【答案】A【解析】设投入x万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝x4＋a2·20－x.令y≥5，则x4＋a2·20－x≥5对0≤x≤20恒成立．∴a20－x≥10－x2，∴a≥1220－x对0≤x20恒成立．∵f(x)＝1220－x的最大值为5，且x＝20时，a20－x≥10－x2也成立，∴amin＝5.故选A.6、某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝C，0＜x≤A，C＋B（x－A），x＞A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元3三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元【答案】A【解析】根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝12，C＝4，所以f(x)＝4，0＜x≤5，4＋12（x－5），x＞5，所以f(20)＝4＋12(20－5)＝11.5.7、某校甲、乙两食堂某年1月营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份()A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高【答案】A【解析】设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝m（m＋8a），因为y21－y22＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．8、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．【答案】3.75【解析】由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，分别代入解析式，得0.7＝9a＋3b＋c，0.8＝16a＋4b＋c，0.5＝25a＋5b＋c，解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，所以当t＝3.75时，可食用率p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．9、某商店按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定4价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．【答案】190元【解析】设售价提高x元，则依题意y＝(1000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20000＝－5(x－90)2＋60500.故当x＝90时，ymax＝60500，此时售价为每件190元．10、现有含盐7%的食盐水200g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水xg，则x的取值范围是________．【答案】(100,400)【解析】设y＝200×7%＋x·4%200＋x，令5%＜y＜6%，即(200＋x)5%＜200×7%＋x·4%＜(200＋x)6%，解得100＜x＜400.11、某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.【答案】9【解析】由已知可得y＝8＋1，0x≤3，8＋x－＋1，3x≤8，8＋2.15×5＋2.85x－＋1，x8，＝9，0x≤3，2.15x－2.55，3＜x≤8，2.85x－3.05，x8.由y＝22.6解得x＝9.12、某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)．【答案】8【解析】设过滤n次才能达到市场要求，则2%1－13n≤0.1%，即23n≤120，所以nlg23≤－1－lg2，所以n≥7.39，所以n＝8.13、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．【答案】10【解析】由题设可得(1－0.1)P0＝P0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln0.9；又(1－0.19)P0＝P0e－kt，即0.81＝e－kt，故－kt＝ln0.81＝2ln0.9＝－10k，故t＝10，应填10.14、渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)，5则鱼群年增长量的最大值是________．【答案】km4【解析】由题意，空闲率为1－xm，∴y＝kx1－xm，定义域为(0，m)，y＝kx1－xm＝－kmx－m22＋km4，∵x∈(0，m)，k＞0，∴当x＝m2时，ymax＝km4.15、拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．【答案】4.24【解析】∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.16、某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．【答案】1909【解析】前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得10＝k＋b，30＝10k＋b，解得k＝209，b＝709，所以y＝209x＋709，则当x＝6时，y＝1909.17、候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3Q10(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？【答案】(1)a＝－1，b＝1.(2)270【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，则a＋blog33010＝0，即a＋b＝0；6当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，则a＋blog39010＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组a＋b＝0，a＋2b＝1，得a＝－1，b＝1.(2)由(1)知，v＝a＋blog3Q10＝－1＋log3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s，则v≥2，所以－1＋log3Q10≥2，即log3Q10≥3，解得Q10≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．18、某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．【答案】(1)y＝4t，0≤t≤1，12t－3，t＞1.(2)7916【解析】(1)由题图，设y＝kt，0≤t≤1，12t－a，t＞1，当t＝1时，由y＝4得k＝4，由121－a＝4得a＝3.所以y＝4t，0≤t≤1，12t－3，t＞1.(2)由y≥0.25得