考点25平面向量基本定理及坐标表示2020年领军高考数学理一轮必刷题教师版备战2020年高考理科数学

1考点25平面向量基本定理及坐标表示1、已知向量a＝(3，－4)，b＝(x，y)．若a∥b，则()A．3x－4y＝0B．3x＋4y＝0C．4x＋3y＝0D．4x－3y＝0【答案】C【解析】∵a∥b，∴3y＋4x＝0.故选C.2、已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)．若3a－2b＋c＝0，则c＝()A．(－23，－12)B．(23,12)C．(7,0)D．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x，12＋y)＝(0,0)，所以23＋x＝0，12＋y＝0，解得x＝－23，y＝－12，所以c＝(－23，－12)．3、若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB→＝(3,5)，AC→＝(2,4)，则AD→＝()A．(－1，－1)B．(5,9)C．(1,1)D．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得AD→＝BC→＝AC→－AB→＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．4、已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)．若a∥b，则3a＋2b＝()A．(7,2)B．(7，－14)C．(7，－4)D．(7，－8)【答案】B【解析】∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，∴3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．5、设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是()A．2B．－2C．±2D．0【答案】B【解析】因为a与b方向相反，故可设b＝ma，m0，则有(4，x)＝m(x,1)，所以4＝mx，x＝m，解得m＝±2.又m0，所以m＝－2，x＝m＝－2.6、设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相2连能构成四边形，则向量d＝()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)【答案】D【解析】设d＝(x，y)，由题意知4a＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b－2c＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a－c)＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．7、已知平行四边形ABCD中，AD→＝(3,7)，AB→＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则CO→的坐标为()A.－12，5B．12，5C.12，－5D．－12，－5【答案】D【解析】AC→＝AB→＋AD→＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC→＝12AC→＝12，5.∴CO→＝－12，－5.8、在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝π4，|OC→|＝2.若OC→＝λOA→＋μOB→，则λ＋μ＝()A．22B．2C．2D．42【答案】A【解析】因为|OC→|＝2，∠AOC＝π4，所以点C的坐标为(2，2)．又OC→＝λOA＋μOB→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.9、已知向量sin,2xa，cos,1xb，满足∥ab，则2sin4sincosxxx__________．【答案】32【解析】因为向量sin,2xa，cos,1xb，∥ab，sin2cos0xx，tan2x，32sin2sincos2tan1221432sincossincostan121xxxxxxxxx，故答案为32．10、若A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)三点共线，则实数a的值为________．【答案】－54【解析】AB→＝(a－1,3)，AC→＝(－3,4)，由题意知AB→∥AC→，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－54.11、已知向量12，m，,4xn，若mn，则2mn__________．【答案】10【解析】由题意可得：240xmn，8x，即1,2m，8,4n，则22,48,46,8mn，据此可知：2226810mn．12、在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点．若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC→＝________.【答案】(－6,21)【解析】∵AQ→＝PQ→－PA→＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC→＝2AQ→＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC→＝PA→＋AC→＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC→＝3PC→＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．(2018青海西宁质检)已知向量AC→，AD→和AB→在正方形网格中的位置如图所示．若AC→＝λAB→＋μAD→，则λμ＝________.【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy，则AC→＝(2，－2)，AB→＝(1,2)，AD→＝(1,0)．由题意可知(2，4－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.13、P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝________.【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，集合Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．则－1＋m＝1＋2n，1＋2m＝－2＋3n.得m＝－12，n＝－7.此时a＝b＝(－13，－23)．14、已知点4,1A，1,5B，则与向量AB方向相同的单位向量为________．【答案】34,55【解析】154134AB，，，，5AB，与向量AB方向相同的单位向量为34,55．16．已知2,3A，4,3B，点P在线段AB的延长线上，且32APPB，则点P的坐标是____________．【答案】8,15【解析】因为P在AB的延长线上，故AP，PB共线反向，故32APPB，设,Pxy，则32423332xxyy，解得815xy，P的坐标为8,15，故填8,15．15、给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为2π3.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB→上运动．若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．【解】以O为坐标原点，OA→所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(1,0)，点5B的坐标为－12，32，设∠AOC＝αα∈0，2π3，则点C的坐标为(cosα，sinα)，由OC→＝xOA→＋yOB→，得cosα＝x－12y，sinα＝32y，所以x＝cosα＋33sinα，y＝233sinα，所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6，又α∈0，2π3，则α＋π6∈π6，5π6.所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x＋y取得最大值2.16、已知向量1,3a，2,2b，（1）设2cab，求bac；（2）求向量a在b方向上的投影．【答案】（1）16,16；（2）2．【解析】（1）2,62,24,4c，26416,16babac．（2）向量a在b方向的投影4222abb．17、已知向量2222，m，sin,cosxxn，0,2x．（1）若mn，求tanx的值；6（2）若向量m，n的夹角为3，求sin4x的值．【答案】（1）tan1x；（2）12．【解析】（1）由mn可得0mn，即22sincos022xx，化简可得sincosxx，则tan1x．（2）由题意可得1m，1n，22sincos22xxmn，而由m，n的夹角为3可得1cos32mmnn，因此有21sincos22xx，则1sin42x．18、如图，在OAB△中，点P为直线AB上的一个动点，且满足APAB．（1）若13，用向量OA，OB表示OP；（2）若4OA，3OB，且60AOB，请问取何值时使得OPAB？【答案】（1）2133OPOAOB；（2）1013．【解析】（1）由题意得13APAB，∴13OPOAOBOA，∴2133OPOAOB．（2）由题意知43cos606OAOB．∵APAB，∴OPOAOBOA，∴1OPOAOB．7∵OPAB，∴10OPABOAOBOBOA，∴2212161216190OAOBOAOB，解得1013．