考点29等差数列及其前n项和2020年领军高考数学理一轮必刷题教师版备战2020年高考理科数学必刷题

1考点29等差数列及其前n项和1、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S33－S22＝1，则其公差d＝()A.12B．2C．3D．4【答案】B【解析】由S33－S22＝1，得a1＋a2＋a33－a1＋a22＝1，即a1＋d－a1＋d2＝1，∴d＝2.2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是()A．30B．29C．28D．27【答案】C【解析】由题意，设等差数列的公差为d，则d＝a5－a35－3＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝a1＋a72＝7×2a42＝7×4＝28.故选C.3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝8，S6＝54，则数列{an}的公差为()A．2B．3C．4D．92【答案】A【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a3＝a1＋2d＝8，S6＝6a1＋15d＝54，解得a1＝4，d＝2.故选A.4、等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于()A．18B．12C．9D．6【答案】D【解析】.由题意得S11＝a1＋a112＝a1＋10d2＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.5、已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为()A．24B．39C．104D．52【答案】D【解析】因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48.所以a4＋a10＝8.其前13项2的和为a1＋a132＝a4＋a102＝13×82＝52，故选D.6、在等差数列{an}中，a1＝－2017，其前n项和为Sn，若S1212－S1010＝2，则S2020＝()A．2020B．－2020C．4040D．－4040【答案】C【解析】设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则Snn＝An＋B，∴Snn是等差数列．∵S1212－S1010＝2，∴Snn的公差为1，又S11＝a11＝－2017，∴Snn是以－2017为首项，1为公差的等差数列，∴S20202020＝－2017＋2019×1＝2，∴S2020＝4040.故选C.7、设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak＝24，则正整数k的值为()A．9B．10C．11D．12【答案】A【解析】依题意，得S11＝a1＋a112＝11a6＝132，a6＝12，于是有a3＋ak＝24＝2a6，因此3＋k＝2×6＝12，k＝9，故选A.8、已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是()A．Sn＜2TnB．b4＝0C．T7＞b7D．T5＝T6【答案】D【解析】因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以Sn＝n2－10n，所以an＝2n－11，又bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D.9、已知数列{an}满足an＋1＝an－57，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为()A．7B．8C．7或8D．8或9【答案】C【解析】由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－57的等差数列，所以an＝5－57(n－1)＝40－5n7.该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n＝7或8.故选C.10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积3共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升B．6766升C.4744升D．3733升【答案】B【解析】设该等差数列为{an}，公差为d，由题意得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4，解得a1＝1322，d＝766.∴a5＝1322＋4×766＝6766.故选B.11、已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若S3S5＝25，则a6a12＝()A．4B．2C.14D．12【答案】D【解析】设等差数列{an}的公差为d，则3a1＋3d5a1＋10d＝25，可得a1＝d，故a6a12＝a1＋5da1＋11d＝6d12d＝12.故选D.12、下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列{ann}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4【答案】D【解析】{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因为d＞0，所以{an}是递增数列，故p1正确；对p2，举反例，令a1＝－3，a2＝－2，d＝1，则a1＞2a2，故{nan}不是递增数列，p2不正确；ann＝d＋a1－dn，当a1－d＞0时，{ann}递减，p3不正确；an＋3nd＝4nd＋a1－d,4d＞0，{an＋3nd}是递增数列，p4正确．故p1，p4是正确的，选D.13、设Sn为等差数列{an}的前n项和，且(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若a8a7＜－1，则()4A．Sn的最大值是S8B．Sn的最小值是S8C．Sn的最大值是S7D．Sn的最小值是S7【答案】D【解析】由条件，得Snn＜Sn＋1n＋1，即na1＋an2n＜n＋a1＋an＋1n＋，所以an＜an＋1.所以等差数列{an}为递增数列．又a8a7＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零．所以Sn的最小值为S7.故选D.14、数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于()A．0B．3C．8D．11【答案】B【解析】∵{bn}为等差数列，设其公差为d，由b3＝－2，b10＝12，∴7d＝b10－b3＝12－(－2)＝14，∴d＝2，∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6，∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋7×62d＝7×(－6)＋21×2＝0，又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3，∴a8－3＝0，∴a8＝3.故选B.15、在等差数列{an}中，已知a3＝5，a7＝－7，则S10的值为()A．50B．20C．－70D．－25【答案】D【解析】设等差数列{an}的公差为d.∵a7－a3＝4d＝－12，∴d＝－3，∴a10＝a7＋3d＝－16，a1＝a3－2d＝11，∴S10＝a1＋a102＝－25.故选D.16、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则()A．{Sn}是等差数列B．{S2n}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{d2n}是等差数列5【答案】A【解析】作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，∴Sn＝12c[(n－1)b－(n－2)a]＝12c[(b－a)n＋(2a－b)]，∴Sn＋1－Sn＝12c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝12c(b－a)，∴数列{Sn}是等差数列．17、已知数列{an}为等差数列，若a11a10＜－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn＞0的n的最大值为________．【答案】19．【解析】∵a11a10＜－1，且Sn有最大值，∴a10＞0，a11＜0，且a10＋a11＜0，∴S19＝a1＋a192＝19·a10＞0，S20＝a1＋a202＝10(a10＋a11)＜0，故使得Sn＞0的n的最大值为19.18、若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为________．【答案】23．【解析】因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－23，所以数列{an}是首项为15，公差为－23的等差数列，所以an＝15－23·(n－1)＝－23n＋473，令an＝－23n＋473＞0，得n＜23.5，所以使ak·ak＋1＜0的k值为23.19、在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.【答案】99【解析】∵a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99.20、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．【答案】216【解析】由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a1＝5，前30项和为390，于是有＋a302＝390，解得a30＝21，即该女最后一天织21尺布．21、已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝________.【答案】－1【解析】因为a5是a3与a11的等比中项，所以a25＝a3·a11，即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)·(a1＋10d)，解得a1＝－1.22、设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有SnTn＝2n－34n－3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为________．【答案】1941【解析】因为{an}，{bn}为等差数列，所以a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝a92b6＋a32b6＝a9＋a32b6＝a6b6.因为S11T11＝a1＋a11b1＋b11＝2a62b6＝2×11－34×11－3＝1941，所以a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝1941.23、设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.【答案】130【解析】由an＝2n－10(n∈N*)，知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0；当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.24、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(1)2n＋2(2)－n2＋10nTn＝－n2＋10n，n≤5，n2－10n＋50，n≥6.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，所以a1＝4，d＝2，所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.(2)令cn＝13－an＝11－2n，bn＝|cn|＝|11－2n|＝11－2n，n≤5，2