考点39数学归纳法教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点39数学归纳法1．（甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第三次模拟考试数学理）用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选：C．2．（河南省豫南九校2017-2018学年下学期高二第二次联考理）用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到，不等式的左边增加的项为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，不等式为；当时，不等式为，即，比较可得增加的项为．故选C．23．（安徽省马鞍山市2019届高三高考一模理）已知正项数列na的前n项和为nS，数列nS的前n项积为nT，若21nnST，则数列1na中最接近2019的是第______项.【答案】45【解析】21nnST，可得1121ST，且1113ST；则12321nnSSSSS，即12321nnSSSSS，1123121nnSSSSS，即1231121nnSSSSS，两式相除得：11111nnnSSS，则112nnSS，由113S，解得235S；由235S，解得357S；猜想2121nnSn，用数学归纳法证明，当1n时，113S，满足2121nnSn，假设当*nkkN时，猜想成立，即2121kkSk，则当1nk时，1112121223221kkkSkSkk，满足2121nnSn，故猜想成立，即2121nnSn.1113aS，2n时，12123421212121nnnnnaSSnnnn，当1n，113a不满足42121nann，故3,112121,24nnnnan，3由22121144nnn，当44n时，21441935.754，当45n时，21452024.754，当46n时，21462115.754．综上可得数列1na中最接近2019的是第45项．故答案为：45．4．（湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试理）已知正项数列{}na满足11a，前n项和nS满足214(3)(2,)nnSannN≥，则数列{}na的通项公式为na______________．【答案】21n【解析】当1n时，11a；当2n时，221224(3)16,4,3SaSa；当3n时，232334(3)36,9,5SaSa；当4n时，243444(3)64,16,7SaSa，猜想得21nan，故21nan，下面用数学归纳法证明：①11a，满足21nan，②假设nk时，结论成立，即21kak，可得2kSk，则22214(3)(22)4(1)kkSakk，222111(1),(1)21kkkkSkaSSkkk2(1)1k，也满足21nan，结合①②可知，21nan，故答案为21nan．5．（吉林省长春市2019届高三质量监测（四)数学理）已知数列na满足：11a，点*1,nnaanN在4直线21yx上.（1）求2a，3a，4a的值，并猜想数列na的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（Ⅰ）2343,7,15aaa;21nna.（Ⅱ）见解析.【解析】解：（Ⅰ）因为点*1,nnaanN在直线21yx上所以121nnaa，因为11a，故22113a，32317a，427115a，由上述结果，猜想：21nna.（Ⅱ）1，当1n时，1211a成立，2，假设当1,nkkkN时，21kka成立，那么，当1nk时，1121221121kkkkaa成立，由1，2可得21nna.6．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列na，12a，且211nnnaaa对任意nN恒成立．（1）求证：112211nnnnaaaaaa(nN)；（2）求证：11nnan(nN)．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）①当1n时，2221112213aaa满足211aa成立.5②假设当nk时，结论成立.即：112211kkkkaaaaaa成立下证：当1nk时，112211kkkkaaaaaa成立。因为211211111kkkkkaaaaa11221112211111kkkkkkkkaaaaaaaaaaaa即：当1nk时，112211kkkkaaaaaa成立由①、②可知，112211nnnnaaaaaa(n*N)成立。（2）（ⅰ）当1n时，221221311a成立，当2n时，2322222172131112aaaaa成立，（ⅱ）假设nk时（3k），结论正确，即：11kkak成立下证：当1nk时，1211kkak成立.因为2211112111111kkkkkkkkkaaaaakkkk要证1211kkak，只需证12111kkkkkk只需证：121kkkk，只需证：12lnln1kkkk即证：12llnn10kkkk（3k）记2ln11lnhxxxxx2ln1112ln11lnlnxxxxhx21ln1ln12111xxxx当12x≥时，1111ln121ln221ln1ln10122xxe6所以2ln11lnhxxxxx在1,上递增，又6423ln34ln3ln34ln729ln2564l0nh所以，当3x时，30hxh恒成立。即：当3k时，30hkh成立。即：当3k时，12llnn10kkkk恒成立.所以当3k，1211kkak恒成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数nN，不等式11nnan恒成立，命题得证.7．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列na是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，nN，1223aaaa11(1)nnnaanaa恒成立．（1）如果11a，21a，31a成等差数列，求实数的值；（2）已知＝1．①求证：数列1na是等差数列；②已知数列na中，12aa．数列nb是公比为q的等比数列，满足111ba，221ba，31iba(iN)．求证：q是整数，且数列nb中的任意一项都是数列1na中的项．【答案】（1）1（2）①见解析②见解析【解析】（1）由题可得：当3n时，12233131aaaaaa两边同除以123aaa，可得：312112aaa因为11a，21a，31a成等差数列，所以312112aaa7所以2222aa，解得：1（2）①由题可得：当3n时，1223aaaa111nnnaanaa…（Ⅰ）用1n代上式中的n，可得：1223aaaa1111nnnnnaaaanaa…（Ⅱ）（Ⅱ）（Ⅰ）得：11111nnnnaanaanaa上式两边同除以11nnaaa可得：1111nnnnaaa整理得：11111111nnnnaaaa整理得：111111nnnanana（ⅰ）由（1）得，当3n时，11a，21a，31a成等差数列，结论正确.（ⅱ）假设nk时，结论正确。即：2311111,,,...kaaaa成等差数列，且公差为d下证1nk时，211311111,,,...,kkaaaaa成等差数列.即证111kkdaa又1111111111111kkkkkkaakakaakaka11111111kkddkaak.所以111kkdaa成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的3n，数列1na是等差数列.8②由①得：数列1na是等差数列，公差为d所以2111daa，1111iidaa（iN）又111ba，221ba，31iba成等比数列，所以221111iaaa，即：21111111didaaa整理得：113dai所以2112313aqidiaddi，所以q是整数数列nb中的任意一项111112nnnbbqia令1nkba，则1111121nikdaa整理得：12313ndikddii，整理得：12113niki又1121311nnii120121111133...31nnnnnnnnCiCiCiC2301211133...3nnnnnnCiCiCi所以2301211133...313nnnnnnCiCiCiki解得：2301211133...1nnnnnnkCiCiC即：存在kZ，使得：1nkba成立所以数列nb中的任意一项都是数列1na中的项．98．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）已知函数()(1ln)fxxax，aR．（Ⅰ）若()fx在(0,1]上存在极大值点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：21ln2(1)niin，其中,2nNn．【答案】（Ⅰ）12a（Ⅱ）见证明【解析】解：（Ⅰ）由于121'12ln2fxxaax，则①当0a时，12'0lnafxxa，即当120,aaxe时，'0fx，fx单调递增；当12,aaxe时，'0fx，fx单调递减；故fx在12aaxe处取得极大值，则1201aae，解得：12a；②当0a时，'0fx恒成立，fx无极值，不合题意舍去；③当0a时，12'0lnafxxa，即当120,aaxe时，'0fx，fx单调递减；当12,aaxe时，'0fx，fx单调递增；故fx在12aaxe处取得极小值，不合题意舍去；因此当12a时，fx在0,1上存在极大值点；（Ⅱ）法一：令12a，11ln2fxxx，由（Ⅰ）得：fx在1x处取得极大值1，且该极值是唯一的，10则11ln12xx，即1ln21xx，当且仅当1x时取“=”，故当2i时，124ln21222411iiiiiii