考点59几何概型教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点59几何概型1．(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()A．16.32B．15.32C．8.68D．7.68【答案】A【解析】设椭圆的面积为S，则S4×6＝300－96300，故S＝16.32.2．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评数学理）在区间0,1上随机取两个数,xy,则事件“221xy”发生的概率为（）A．4B．22C．6D．44【答案】A【解析】在区间[0,1]上随机取两个数,,xy点(,)xy构成的区域为边长为1的正方形及其内部，事件“221xy”构成的区域为圆221xy及其内部，所以概率2114114P3．(2018辽宁五校联考)若实数k∈[－3,3]，则k的值使得过点A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－54k＝0相切的概率等于()A.12B．13C．14D．16【答案】D【解析】由点A在圆外可得k＜0，由题中方程表示圆可得k＞－1或k＜－4，所以－1＜k＜0，故所求概率为16.故选D.4．（湖南省2019届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块12面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（）A．140B．1121C．1364D．11093【答案】C【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243xxxxxx，则由几何概型得，消费88元以上者抽中一等奖的概率1392781243364xPxxxxxx，故选C.5．(2018宁夏银川模拟)在正三棱锥S－ABC内任取一点P，使得VP－ABC＜12VS－ABC的概率是()A.78B．34C．12D．14【答案】A【解析】如图，分别取D，E，F为SA，SB，SC的中点，则满足条件的点P应在棱台DEF－ABC内，而S△DEF＝14S△ABC，∴VS－DEF＝18VS－ABC.∴P＝VDEF－ABCVS－ABC＝78.故选A.6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）设函数2()logfxx，在区间(0,5)上随机取一个数x，则()2fx的概率为（）A．15B．25C．35D．45【答案】D【解析】由2fx,得2log2x,即04x,根据几何概型的概率公式可得从区间0,5内随机选取一个实数3x, 2fx的概率为404505,故选D.7．(2018石家庄一模)在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使x2＋y2≤1成立的概率为()A.π2B．π4C．π3D．π5【答案】B【解析】如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得x2＋y2≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的14与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P＝π41＝π4.故选B.8．（2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试数学理）如图，扇形AOB的圆心角为120，点P在弦AB上，且13APAB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为A．14B．13C．27D．38【答案】A【解析】设3OA，则33,3ABAP，由余弦定理可求得3OP，有30AOP，所以扇形AOC的面积为34，扇形AOB的面积为3，从而所求概率为31434.故选A.49．(2018湖南十校联考)如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是()A.12B．14C．13D．25【答案】C【解析】由题意可知，阴影部分的面积S阴影＝10x2dx＝13x310＝13，又正方形的面积S＝1，故质点落在图中阴影区域的概率P＝131＝13.故选C.10．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图，在正方形OABC内任取一点M，则点M恰好取自阴影部分内的概率为（）A．14B．13C．25D．37【答案】B【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S阴10 （1x）dx＝（x3223x）101|3，5设“点M恰好取自阴影部分内”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）11313SS阴正方形，故选：B．11.(2018武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(),A.34B．23C．13D．14,【答案】D【解析】因为log0.5(4x－3)≥0，所以0＜4x－3≤1，即34＜x≤1，所以所求概率P＝1－341－0＝14.故选D.,12．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（）A．0.18B．0.32C．0.36D．0.64【答案】C【解析】设305路车和202路车的进站时间分别为x、y，设所有基本事件为:W010010xy,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件A，则{(,)|010,010,||2}Axyxyxy,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则10108836S，则36()0.36100ASPAS.选C.13．(2018济南模拟)如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)，则以x，y,1为边长能构成6锐角三角形的概率为(),A.1－π4B．1－π6C.1－π3D．π12【答案】A【解析】连接AC，首先由x＋y＞1得构成三角形的点P在△ABC内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cosα＝x2＋y2－122xy＞0，x2＋y2＞1，即点P在以原点为圆心，1为半径的圆外．∴点P在边AB，BC及圆弧AC围成的区域内．∴所求概率为12－π4×1212＝1－π4.故选A.14．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马PABCD中，PC为阳马PABCD中最长的棱，1,2,3ABADPC，若在阳马PABCD的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（）A．127B．427C．827D．49【答案】C【解析】根据题意，PC的长等于其外接球的直径，因为222PCPAABAD，∴2314PA，∴2PA，又PA平面ABCD，所以314431223332PABCDVV球，，∴3483274332P.715.(2018重庆检测)在不等式组x－y＋1≥0，x＋y－2≤0，y≥0，所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________．【答案】29【解析】画出不等式组x－y＋1≥0，x＋y－2≤0，y≥0，表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S△ABC＝12×3×32＝94，S△AOD＝12×1×1＝12，所以点P恰好落在第二象限的概率为S△AODS△ABC＝1294＝29.16．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1B．12C．1142D．112【答案】D【解析】设圆O的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为S,则2112111424S，圆O的面积为224，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是P，则82411442SP,故本题选D.17．(2018邢台摸底考试)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面8的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．【答案】59【解析】由题意知，所求的概率为1－4π3×13÷(π×12×3)＝59.18．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试6月数学理）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为()A．2π332(π3)B．32(π3)C．32(π3)D．2π332(π3)【答案】B【解析】如图：设2BC，以B为圆心的扇形面积是22263，ABC的面积是1322322，所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，9即23232233，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是332232(3)，故选B.19．(2018沈阳模拟)某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________．【答案】2125【解析】设两盏灯笼通电后发光的时刻分别为x，y，则由题意可知0≤x≤5,0≤y≤5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|x－y|≤3，做出图形如图所示，根据几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率P＝1－2×12×2×25×5＝2125.20．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）如图，在矩形OABC内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为()A．e3B．43eC．33eD．13e【答案】B【解析】由题意，阴影部分的面积为101=10xxSedxee阴影，又矩形OABC的面积为=3OABCS矩形，10所以在矩形OABC内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为4=3OABCOABCSSePS阴影矩形矩形.故选B21．(2018河南检测)若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴，y轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．【答案】23【解析】对于直线方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0，令x＝0，得y＝33－m；令y＝0，得x＝3m＋2.由题意可得12·3m＋2·33－m＜98，因为m∈(0,3)，所以解得0＜m＜2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是23.22．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）如图，矩形ABCD满足2BCAB，E为BC的中点，其中曲线为过,,ADE三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A．16B．13C．14D．24【答案】A【解析】以BC所在的直线为x轴，以E为原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设1,2ABBC，则1,01,0BC，，1,11,1A，D,过,,ADE三点抛物线方程为2yx,阴影部分面积为123111111211233Sxdxx,又矩形ABCD得面积为122ABCDS,11故点落在阴影部分的概率为11326ABCDSPS=.故选：A23．(2018云南昆明统测)在底和高等长度的锐