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2011-2012学年下期高中数学必修综合测试题(四)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数1yx的定义域为()A.,1B.,1C.1,D.1,2.直线30xy的倾斜角为()A.6B.3C.23D.563.已知全集1,2,3,4,5,6,7,8U,集合2,4,6,8A,1,2,3,6,7B,则UABð()A.2,4,6,8B.1,3,7C.4,8D.2,64.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛,他们所有比赛得分的情况用如图1所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为()A.14、12B.13、12C.14、13D.12、145.在边长为1的正方形ABCD内随机取一点P,则点P到点A的距离小于1的概率为()A.4B.14C.8D.186.已知向量a与b的夹角为120,且1ab,则-ab等于()A.1B.3C.2D.37.有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示(单位:cm),则该几何体的表面积...为()A.212cmB.215cmC.224cmD.236cm8.若23x,12xP,2logQx,Rx,则P,Q,R的大小关系是()A.QPRB.QRPC.PRQD.PQR9.已知函数()2sin()fxx0,2的图像如图3所示,则函数)(xf的解析式是()A.10()2sin116fxxB.10()2sin116fxxC.()2sin26fxxD.()2sin26fxx10.一个三角形同时满足:①三边是连续的三个自然数;②最大角是最小角的2倍,则这个三角形最小角的余弦值为()A.378B.34C.74D.18二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.11.圆心为点0,2,且过点14,的圆的方程为.12.如图4,函数2xfx,2gxx,若输入的x值为3,则输出的hx的值为.13.设不等式组0,02036xyxyxy≤≥≥,表示的平面区域为D,若直线0kxyk上存在区域D上的点,则k的取值范围是.14.若函数2213fxaxax是偶函数,则函数fx的单调递减区间为.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C成等差数列.(1)求角B的大小;(2)若2sin2AB,求sinA的值.01213558759975486甲乙图165主视图65侧视图俯视图图21Oxy1112图3否是开始()()hxfx()()fxgx输出()hx输入x结束()()hxgx图416.(本小题满分12分)某校在高二年级开设了A,B,C三个兴趣小组,为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查,用分层抽样方法从A,B,C三个兴趣小组的人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表(单位:人)(1)求x,y的值;(2)若从A,B两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言,求这2人都来自兴趣小组B的概率.17.(本小题满分14分)如图5,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PA平面ABCD,PAAB,点E是PD的中点.(1)求证:PB平面ACE;(2)若四面体EACD的体积为23,求AB的长.18.(本小题满分14分)已知数列na是首项为1,公比为2的等比数列,数列nb的前n项和2nSn.(1)求数列na与nb的通项公式;(2)求数列nnba的前n项和.19.(本小题满分14分)直线ykxb与圆224xy交于A、B两点,记△AOB的面积为S(其中O为坐标原点).(1)当0k,02b时,求S的最大值;(2)当2b,1S时,求实数k的值.20.(本小题满分14分)已知函数213fxaxxaaR在区间1,1上有零点,求实数a的取值范围.兴趣小组小组人数抽取人数A24xB363C48yABCDPE图52010学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.题号12345678910答案DBCAABCDCB二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共4小题,每小题5分,满分20分.11.22225xy(或224210xyy)12.913.0,(或0,)14.122,三、解答题15.本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力.满分12分.解:(1)在△ABC中,ABC,由角A,B,C成等差数列,得2BAC.解得3B.(2)方法1:由2sin2AB,即2sin2C,得2sin2C.所以4C或34C.由(1)知3B,所以4C,即512A.所以5sinsinsin1246Asincoscossin464623212222264.方法2:因为A,B是△ABC的内角,且2sin2AB,所以4AB或34AB.由(1)知3B,所以34AB,即512A.以下同方法1.方法3:由(1)知3B,所以2sin32A.即2sincoscossin332AA.即132sincos222AA.即3cos2sinAA.即223cos222sinsinAAA.因为22cos1sinAA,所以2231sin222sinsinAAA.即24sin22sin10AA.解得26sin4A.因为角A是△ABC的内角,所以sin0A.故26sin4A.16.本小题主要考查统计与概率等基础知识,考查数据处理能力.满分12分.解:(1)由题意可得,3243648xy,解得2x,4y.(2)记从兴趣小组A中抽取的2人为1a,2a,从兴趣小组B中抽取的3人为1b,2b,3b,则从兴趣小组A,B抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有12,aa,11,ab,12,ab,13,ab,21,ab,22,ab,23,ab,12,bb,13,bb,23,bb共10种.设选中的2人都来自兴趣小组B的事件为X,则X包含的基本事件有12,bb,13,bb,23,bb共3种.所以310PX.故选中的2人都来自兴趣小组B的概率为310.17.本小题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.满分14分.(1)证明:连接BD交AC于点O,连接EO,因为ABCD是正方形,所以点O是BD的中点.因为点E是PD的中点,所以EO是△DPB的中位线.所以PBEO.因为EO平面ACE,PB平面ACE,所以PB平面ACE.(2)解:取AD的中点H,连接EH,因为点E是PD的中点,所以EHPA.因为PA平面ABCD,所以EH平面ABCD.设ABx,则PAADCDx,且1122EHPAx.所以13EACDACDVSEH1132ADCDEH3111262123xxxx.解得2x.故AB的长为2.18.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分14分.解:(1)因为数列na是首项为1,公比为2的等比数列,所以数列na的通项公式为12nna.因为数列nb的前n项和2nSn.所以当2n≥时,1nnnbSS22121nnn,当1n时,111211bS,所以数列nb的通项公式为21nbn.(2)由(1)可知,1212nnnbna.设数列nnba的前n项和为nT,则213572321124822nnnnnT,①即111357232122481622nnnnnT,②①-②,得2111112111224822nnnnT11121211212nnnABCDPEOOH2332nn,所以12362nnnT.故数列nnba的前n项和为12362nn.19.本小题主要考查直线与圆、基本不等式等基础知识,考查运算求解能力.满分14分.解:(1)当0k时,直线方程为yb,设点A的坐标为1()xb,,点B的坐标为2()xb,,由224xb,解得2124xb,,所以22124ABxxb.所以12SABb24bb22422bb≤.当且仅当24bb,即2b时,S取得最大值2.(2)设圆心O到直线2ykx的距离为d,则221dk.因为圆的半径为2R,所以2222244211ABkRdkk.于是222241212111kkSABdkkk,即2410kk,解得23k.故实数k的值为23,23,23,23.20.本小题主要考查二次函数、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力,以及分类讨论的数学思想方法.满分14分.解法1:当0a时,1fxx,令0fx,得1x,是区间1,1上的零点.当0a时,函数fx在区间1,1上有零点分为三种情况:①方程0fx在区间1,1上有重根,令14130aa,解得16a或12a.当16a时,令0fx,得3x,不是区间1,1上的零点.当12a时,令0fx,得1x,是区间1,1上的零点.②若函数yfx在区间1,1上只有一个零点,但不是0fx的重根,令114420ffaa≤,解得102a≤.③若函数yfx在区间1,1上有两个零点,则.01-,01,1211,01412,02ffaaaa或.01-,01,1211,01412,02ffaaaa解得a.综上可知,实数a的取值范围为10,2.解法2:当0a时,1fxx,令0fx,得1x,是区间1,1上的零点.当0a时,213fxaxxa在区间1,1上有零点231xax在区间1,1上有解213xax在区间1,1上有解.问题转化为求函数213xyx在区间1,1上的值域.设1tx,由1,1x,得0,2t.且2013tyt.而214132tyttt.设4gttt,可以证明当0,2t时,gt单调递减.事实上,设1202tt,则121212121212444ttttgtgttttttt,由1202tt,得120tt,1204tt,即120gtgt.所以gt在0,2t上单调递减.故24gtg.所以1122ygt.故实数a的取值范围为10,2.
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