线性代数第五章特征值与特征向量

§5.1方阵的特征值与特征向量1.定义【定义5.1】设A是n阶方阵，若存在数和n维非零列向量x，使得Axx成立.则称数为A的特征值，称非零列向量x为方阵A的对应于（或属于）特征值的特征向量.【注1】只有方阵才有特征值和特征向量；【注2】特征向量是非零列向量。11113111113311111311231612311661312161【注2】如果n阶方阵A的各行元素之和为k，则数k一定是方阵A的一个特征值，且对应的特征向量为(1,1,,1)T。()0,0AxxAExx()0AEx有非零解0AE⑴特征多项式()||fAE；⑵求特征方程()||0fAE的解12,,,n，则12,,,n为A的特征值（也称特征根）；⑶对于每个(1,2,,)iin，求齐次线性方程组0（）iAEx的（所有）非零解x，即得A的属于特征值i的（所有）特征向量。2.求特征值和特征向量的方法【例1】求123000abdAaca的特征值.【解】123()000abdfAEaca123()()(),aaa令()0f，解得A的特征值为112233,,aaa。【注】上三角方阵、下三角方阵（含对角矩阵）的特征值即为其主对角线元素。【例2】求211020413A的特征值和特征向量.【解】211()020413fAE221(2)(1)(2)43，令()0f，解得A的特征值为1231,2对于1=1,解齐次线性方程组()0AEx，即123111003004140xxx,得非零解为1101xk,即为A的属于特征值11的所有特征向量,其中10k。对于322,解齐次线性方程组(2)0AEx，即123411000004110xxx,得非零解为23100141xkk,即为A的属于特征值322的所有特征向量,其中23,kk为不全为零的常数。【例3】求110430102A的特征值和特征向量.【简解】⑴A的特征值为1232,1。⑵对于1=2,A的所有特征向量xk1001,其中10k。对于312,A的所有特征向量为xk2121,其中20k。【注】若是A的k重特征值，则对应的线性无关的特征向量最少1个、最多k个.3.性质(是阶方阵）An推论：⑴A可逆A所有特征值全不为零。⑵A不可逆A至少有一个特征值为零。121122(1);nnnaaa(比较()f中1n的系数即证)、此主对角线元素之和称为A称的迹，记为()trA，即12()ntrA。12(2);nA(比较()f中的常数项，令0即证)(4)设方阵A可逆，12,,,n为A的所有特征值，则①12111,,,n为1A的所有特征值。②231312112,,,nnnnAAA为伴随矩阵*A的所有特征值。（因为*1AAA）；(3)设01()mmaaa是任一多项式，称01()mmAaEaAaA为矩阵多项式。若12,,,n为A的所有特征值，则12(),(),,()n为()A的所有特征值。【例4】设A是三阶矩阵,特征值为2,2,3,则2A的特征值为______________;22AAE的特征值为_______________;1A的特征值为______________;*A的特征值为______________;112233_____.AAAiiA为A中元素iia的代数余子式。【注】若1对应的线性无关的特征向量为1，2对应的线性无关特征向量为23,，若12，则123,,也线性无关.【定理5.1】12,,,m是方阵A的m个特征值，mppp12,,,是依次与之对应的特征向量，如果12,,,m各不相等，则mppp12,,,线性无关.即对应于不同特征值的特征向量线性无关.【例5】设A为n阶矩阵，1和2是A的两个不同的特征值；12,pp分别属于1和2的特征向量，证明：12pp不是A的特征向量.【证】用反证法。假设12pp是A的特征向量，且对应特征值为，则1212()()Apppp，又121122()Apppp，故121122()pppp，从而1122()()0pp，由定理2知，12,pp线性无关，所以120，得12，矛盾。因此12pp不是A的特征向量。§5.2相似矩阵【定义5.2】设,AB为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P使1PAPB，则称A与B相似.一.相似矩阵定义【相似与等价的关系】⑴若A与B相似（1PAPB），则,AB等价（PAQB）；⑵若A与B等价，则,AB未必相似。反例：取AEB1011,0101。则A与B等价，但,AB不相似。(因为对任意的可逆矩阵P，11PAPPEPEB。）【定理5.2】若A与B相似,则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同，行列式相等。【例1】若4阶方阵A与B相似,A的特征值为1,2,3,4.则_________BE.【注】定理3的逆命题不成立。设1011,0101AB,则它们特征值多项式相同，但它们不相似.二.相似矩阵的性质11111()()BEPAPEPAPPEPPAEPPAEPAE三.相似对角化问题（方阵何时与对角阵相似）1.【定义】：对n阶阵A，若存在可逆阵P，使1PAP12n12(,,,)ndiag，称方阵A能相似对角化。2.若1PAP12(,,,)ndiag，则i为A的特征值，P的第i个列向量为A的属于i的特征向量，P的n个列向量为A的n个线性无关的特征向量。【定理5.3】n阶矩阵A能相似对角化的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.【推论】方阵A有n个不同的特征值,则A可以相似对角化.【定理5.4】A能对角化若是A的特征方程的k重特征根，则对应的线性无关的特征向量有k个，即()RAEnk【例2】.判断下列矩阵A能否分别相似对角化:答案：（1）有两个异号（不同）的特征值，能相似对角化。答案：（2）(参见上节例1)有三个不同的特征值1，3，0，能相似对角化；答案：（3）(参见上节例2)虽然特征值为-1，2，2，但有三个线性无关的特征向量，能相似对角化；答案：（4）(参见上节例3)虽然特征值为2，1，1，但没有三个线性无关的特征向量，不能相似对角化。（1）A是2阶矩阵,且0A；（2）121030000A；（3）211020413A；（4）110430102A。【例3】问111000000A能否对角化？若能，求出一个可逆阵P，使得1PAP。【解】由于A为上三角矩阵，故A的特征值为1231,0。对于11，1230110()01000010xAExxx，取p1010；对于230，123111000000000xAxxx，取pp2311,1001；所以A有三个线性无关的特征向量，故A可相似对角化，且111010001P。§5.3实对称阵的对角化【定理5.5】实对称阵的特征值为实数.【定理5.6】设12,是实对称阵A的两个特征值，12,pp是对应的特征向量，若12，则12,pp正交.【定理5.7】设A为n阶实对称阵，则必有正交阵P，使得11nPAP，其中1,,n为A的特征值。（一定要记住定理5.7的结论）定理5.7表明n阶实对称阵一定有n个线性无关的特征向量。②如果特征值是单根,对应线性无关的特征向量只有一个，将它单位化;如果特征值是二（多）重根，对应线性无关的特征向量有二（多）个，则先用施密特正交化方法，将其正交化，然后单位化。求正交阵P的方法与步骤（一定要掌握）①求出A的特征值与特征值对应线性无关的特征向量。③将这些正交单位向量构成正交阵P（注意对角阵的主对角线上元素（即A的特征值）的排列次序与正交阵的列向量的排列次序对应）。注意：正交阵P不唯一。【例1】设422242224A，求正交阵P，使得1PAP为对角阵.【解】2422242(2)(8)224AE,令2(2)(8)0，得A特征值为1238,2。当18时，方程组(8)0AEx的基础解系为1(1,1,1)T；当232时，方程组(2)0AEx的基础解系为23(1,1,0),(1,0,1)TT。将1(1,1,1)T单位化得1111(,,)333Tp；将23(1,1,0),(1,0,1)TT正交化，得23(1,1,0),(1,1,2)TT然后将23(1,1,0),(1,1,2)TT单位化，得2311112(,,0),(,,)22666TTpp故正交阵11132611132612036P，使得1822PAP。【例2】已知20000101Ax，与20000001By相似，求（1）x与y的值；(2）求一个满足1PAPB的正交阵P.【简解】（1）由于A与B相似，所以()(),,trAtrBAB即21,22,xyy解得0x，1y；（2）方法与步骤同例1，参考答案1001102211022P.【例3】设3阶实对称阵A的特征值为6，3，3，且与特征值6对应的特征向量为1(1,1,1)T，求A.【解】：由于属于实对称矩阵不同特征值的特征向量一定正交，所以属于特征值3的特征向量123(,,)Txxx必与1(1,1,1)T正交，故1230xxx，取其基础解系为2(1,1,0)T和3(1,1,2)T。由于123,,为正交向量组，所以可直接单位化，1111(,,)333T，211(,,0)22T，3112(,,)666T，因此正交阵11132611132612036P。1663333TAPPPP1111113263336111113032622311212066636411141114。第六章二次型【定义6.1】含有n个变量12,,,nxxx的二次齐次多项式函数2222