31求质点在中心势场中运动的微分方程的解。解：由公式

3.1求质点在中心势场中运动的微分方程的解。解：由公式，代入02rV令：2222rLrVEmdrrL02rV2222221)2(212rLmmErdLrLrEmdrrLru1mEuLmduL2)2(22讨论：(1)当22,02LmmEcumEmLmLLumLmEdumLL22arccos222222222第3章两体问题选适当θ，使c=0,得2221cos221LmmLmEru(2)当22,02LmmEcumELmarcshLmLLmmEuduLmL22222222222选适当θ，使c=0,得1222122LmshLmmEru(3)当22,02LmmEcuEmLmarcchLmLLmEmuduLmL22222222222选适当θ，使c=0,得1222122LmchLmEmru)(lim,)(limshch第（2），（3）中情况会出现r＝0，即质点被力心所俘获mLmLErmEt2221222rrrLmmrmEEmmLmrmErdrmLrEmdrt02220222202222)2(4844882当，t值有限0,022ELm3.2质量相同的两个质点，用一固有长度为l劲度系数为k，质量不计的弹性棒连接起来，用手握住其中一个质点，使另一个做水平圆周运动，其速度为V0，然后将手放开，讨论这两个质点以后的运动情况。解：放手前，体系质心做圆周运动，放手后质心在离心力作用下做抛体运动。仅考虑体系的相对运动，体系势能。两粒子相对运动可看成质量为折合质量mr的质点的运动，运动方程为：2)(21lrkV其中：轨道方程为：rrrrmLlrkEmdrt02222)(212lkmvrmmmmmmr2002121,21rrrrrrLlrkEmdrrLd002222)(2123.3质点在一纬中心引力的作用下，以速度为0，x=-a处开始运动，试求该质点到达力心o的时间。解：设无穷远处为势能零点，则代入粒子在中心势的运动方程：xFxdxxxvxln)(0222]lnln[2)]([2axmdrrmLxVEmdrt3.4定性的讨论粒子在中心势中的运动，式中k和α为常数。解：当》1时，V≈0，此时近似做自由粒子的运动；当《1时，，粒子近似做在势场中的开普勒运动；当≈1时，，粒子近似做开普勒运动，但势场减弱为rekVrrrkVrkrrekVerk1r3.6求粒子在中心力的作用下的轨道方程。解：粒子的中心势场可写为代入32rcrkFrcrkV2222221)(221)]([2rLmcrmkmErLdrLrVEmdrrLd令：，ru122222244222)(ABuAADBABudALmEumkuLmcLdumEDmkBmcLA2222222222cos)()(22LmcLmcLmcLmEkmmcLmkucos1cos)(211222222epLmcLkmmcLmEmkmcLr其中：22222)(21,1,kmmcLmEeLmcmkmcLp3.8试求粒子在势场中运动且E=0(抛物线轨道)时，坐标对时间的依赖关系。解：粒子在中心势场中运动，代入运动方程：222222222)]([2LrmmrdrrmLrmdrrmLxVEmdrtrVrV令，则2222LrmLmLLr222232)1(221232322323232222mLdmLdmLLdLmLmLLmt若，则mLp2)1(31223mpt)3()1(4)1(4sin)2()1(22)1(2)1(cos222222222222pppxrrypppmLprprx3.11证明在椭圆轨道情况下，动能对时间的平均值等于势能对时间的平均值的一半(位力定理)。证明：在椭圆轨道情况下，。设，a，c分别是半长轴和焦距cos1eprrV有：，周期VrrmEaE)(21,2222可写为：，即arrrm2)(21222armrLrm22212232amTmLarrmrdtdr222122222)(armaLadrmgrdt势能：amamaarmaLadrmadrVcaca21arcsin4)(212220动能：aaadardrrT22)2(1)(21100222VT21证明2：令：rpsTrFrrmrFrprps2经过一个周期：TrF20又：，在椭圆轨道rVF2)(rFrrV)(22rVrrrT3.13运动粒子m1和静止粒子m2碰撞后，试在实验室系中用粒子的偏转角来表示粒子碰撞后的速度，即用和来表示和解：设m1的初速度为可得：'01V'02V01V2sin2cos221011'020121212221'01mmVmVVmmmmmmV其中：coscos1cossintan21222121mmmmmm12222)(21代入上式得：01122122211211'01221011'02sin1coscos2VmmmmmmmVmmVmV3.22设一质量为m的质点在的中心力场中运动，试求其在稳定平衡位置r0附近做径向小振动的频率。解：由比耐公式，轨道微分方程为：其中xrF)(FLmududu2222drdvFru,1设势场有一微小扰动，使粒子轨道0uu代入上式，保留到ε的一级项，得ε满足方程：022Add得轨道稳定条件为：0121)(212222224232LrmLrmLrmdrdFrLmrFrLmA∴轨道稳定附近径向振动频率0rLrmLLrmLf221220222023.23在地球表面A处，一发射角θ＝60°和初速发射一卫星，其中R为地球半径(自转可略)。(1)试求发射瞬间卫星轨道的曲率半径ρ和切向加速度；(2)试求卫星离开地面的最大高度h及在此点的速率；(3)如果卫星在此最大高度突然分裂成相等的两半，其一半瞬时静止，试问另一半的轨道形状。解：卫星处于重力势场中，由重力F＝mg,卫星的轨道方程可写为：gRv0ta1vrVgRmRmRvLmgRrmvEmgRRr32sin,2121,0202cos243Rr32cos1epr其中：12121,43sin222202mELeRmgRmmRvmLp轨道方程为：，当r=R时(1)受力分析得：RmgFmvn332sin20gamgFmattt21cosv0ARO(2)当时，有2,23maxmaxRRrhRr由机械能守恒有：mgRRMmGmvEErMmGmv2121,2120max21即：gRvmgRRmgRmv332123211221(3)当一半瞬时静止，由动量守恒有，12'vv031312'2121'max2mgRmgRrmGMvmE12'222mELme即轨道形状为抛物线(2)当时，有2,23maxmaxRRrhRr由机械能守恒有：mgRRMmGmvEErMmGmv2121,2120max21即：gRvmgRRmgRmv332123211221R/2R/2v0ARO(2)双曲线轨道上面式(1),(3),(4),(5)均成立，但)1(2eap代入(5)得，ararphv121222(3)抛物线轨道式(1),(3),(4),(5)均成立，但e=1代入(5)得，rrphv2222(2)双曲线轨道，系统机械能为，(3)抛物线轨道，系统机械能为，解法2:(1)椭圆轨道，系统机械能为，rmmvE221对椭圆轨道，机械能可表示为，amE2arv122即得rmmvE221机械能又可表示为，amE2rmmvE221抛物线轨道机械能为零，所以arv122即得rv22