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第三章线性规划的对偶问题与灵敏度分析3.1对偶问题3.2灵敏度分析3.3一个使用计算机求解和分析的例子3.1对偶问题3.1.1对偶问题的提出3.1.2建立对偶问题的规则3.1.3对偶问题的基本性质3.1.4对偶昀优解的经济解释——影子价格3.1.1对偶问题的提出第2章例1设21,xx分别表示在计划期内产品A、B的产量,z为利润0,3001032005436049..12070max2121212121≥≤+≤+≤++=xxxxxxxxtsxxz设321,,yyy分别表示出租单位劳动力、单位设备台时的租金和出让单位原材料的附加额(附加额=出售价格-成本),ω为总收入,则有0,,120105470349..300200360min321321321321≥≥++≥++++=yyyyyyyyytsyyyω3.1.2建立对偶问题的规则原问题0,,,..max21221122222121112121112211≥≤+++≤+++≤++++++=nmnmnmmnnnnnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsxcxcxczLLLLLL对偶问题0,,,..min21221122222112112211112211≥≥+++≥+++≥++++++=mnnmnnnmmmmmmyyycyayayacyayayacyayayatsybybybLLLLLLω矩阵形式原问题0..max≥≤=XbAXtsCXz对偶问题0..min≥≥=YCYAtsYbω对偶关系对应表原问题(或对偶问题)对偶(或原问题)目标函数求max目标函数求minn个n个0≥≥0≤≤变量无限制约束条件=n个n个≤0≥≥0≤约束条件=变量无限制约束条件右端项目标函数系数目标函数系数约束条件右端项例2写出对偶问题无限制543215421431543215321;0;0,,243427342..623minxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxz≤≥−=+−+−≤−+≥++−++−+=无限制321313212131321321;0;013046242332..247maxyyyyyyyyyyyyyyytsyyy≤≥=+≥−−−≤+−≤+≤−+−+=ω补充练习:写出下列LP问题的对偶问题无限制3241432143243214321,,0,0247325433432s.t.4323minxxxxxxxxxxxxxxxxxxxz≤≥=−−−−≥++≤++−+−+=无限制32132132132131321,0,04444373323232s.t.253maxyyyyyyyyyyyyyyyyy≥≤≥−+−=−+=−+−≤++−=ω3.1.3对偶问题的基本性质(1)对称性:对偶问题的对偶是原问题。(2)弱对偶性:求max问题的可行解的目标值不可能超过求min问题的可行解的目标值。(3)无界性:若其中一个问题无界,则另一个问题不可行。(4)对偶定理(5)互补松弛性(松紧定理)(4)对偶定理若其中一个问题有昀优解,则另一个问题也有昀优解,并且它们目标函数的昀优值相等。特别,若原问题的昀优基为B,则其对偶问题的昀优解为1*−=BCYB。(5)互补松弛性(松紧定理)设()0X和()0Y分别是问题(P)和问题(D)的可行解,则它们都是昀优解的充分必要条件是:对于nj,,2,1L=和mi,,2,1L=有①jmiiijjcyax=⇒∑=1000②0010=⇒∑=jjmiiijxcya③injjijibxay=⇒∑=1000④0010=⇒∑=iinjjijybxa例3给定线性规划问题5,,1,03322432..32532min543215432154321L=≥≥+++−≥++++++++=jxxxxxxxxxxxtsxxxxxzj试通过求解其对偶问题找出原问题的昀优解。解:对偶问题为0,3325323222..34max21212121212121≥≤+≤+≤+≤−≤++=yyyyyyyyyyyytsyyω在QM中运行有⎟⎠⎞⎜⎝⎛=53,54*Y,昀优值5*=ω将53,54*2*1==yy代入约束条件有2535432575354551753354235253254253254=+×=+=×+×−=×−=×+可见第2、3、4个约束条件是松的,由互补松弛性得0*3*2*1===xxx,又因为0,*2*1yy,故原问题的两个约束应取等式,即有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+3243*5*1*5*1xxxx,从而解得1,1*5*1==xx所以原问题的昀优解为()TX1,0,0,0,1*=,昀优值为5*=z从原问题昀优单纯形表找对偶问题昀优解的方法记标准LP问题的初始基变量组为IBX,其目标函数中的各系数为IBC,在昀优单纯形表中IBX的各检验数为IBσ,则对偶问题昀优解为IBIBCYσ−=*例40,,3213827543210754663..8315min321213212132131321321≥≥−≥−+≥+≥+−≥+≥++++=xxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxz解这个问题需引入6个剩余变量和6个人工变量,用计算机求解需迭代9次。对偶问题0,,,,,83356387215251043..32476max654321532165431654321654321≥≤−+≤−++−≤++++++++++=yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyytsyyyyyyω解这个问题需引入3个松弛变量,用计算机求解需迭代5次。3.1.4对偶昀优解的经济解释——影子价格在其他条件不变的情况下,第i种资源的限额bi增加一个单位所引起的目标昀优值的改变量称为该资源的影子价格。对偶昀优解是各资源的影子价格。影子价格是系统达到昀优状态时对资源价格的一种估价。影子价格的大小客观地反映资源的稀缺程度。对于max问题,打印输出的影子价格=对偶解;对于min问题,打印输出的影子价格=-对偶解。3.2灵敏度分析3.2.1目标函数系数变化的灵敏度分析3.2.2右端项变化的灵敏度分析3.2.3多个参数变化的灵敏度分析3.2.4其他形式的灵敏度分析3.2.1目标函数系数变化的灵敏度分析假定目标函数只有一个系数jc发生变化,模型中的其他系数保持不变。若原问题的昀优解不变,jc的可变范围的确定方法是:检验数满足昀优性准则。例5求第2章例1(也是第2章例8)中目标函数系数2c的可变范围。解:本例的昀优单纯形表如下(如表2-5):在表3-2中,2x的目标函数系数2c的当前值为120。现把这个系数的值用符号2c代替。此时,相应的单纯形表如表3-3所示为使问题的昀优解不变,只需表3-3中的检验数满足昀优性准则,即2c要满足不等式组:由此可得到2c的可变范围:33.2335.872≤≤c3.2.2右端项变化的灵敏度分析假定右端项只有一个参数ib发生变化,模型中的其他系数保持不变。若原问题的昀优基不变,ib的可变范围的确定方法是:基变量的值非负。例6求例4中右端项3b的可变范围。从昀优表(表3-2)知昀优基变量为3x,1x,2x;昀优基为根据单纯形法旋转变换的代数原理,不难看出初始基变量3x,4x,5x在昀优表中相应的列构成昀优基B的逆矩阵,即3b的当前值为300(也是用初始数据),现用3b代替这个数值,则昀优表(表3-2)中除了b′这列以外,其他数据不变。而b′由若要保持B的昀优基地位,应保证基变量的值非负,即要求由此可得到不等式组:昀后解得:400586.2273≤≤b3.2.3多个参数变化的灵敏度分析(多个目标函数系数变化的灵敏度分析)步骤见P80例7对第2章例1的问题,如果由于市场条件发生变化,产品A的单位利润降为53元,产品B的单位利润升至160元,昀优生产计划是否会发生变化?如果产品A的单位利润升为95元,而产品B降到90元,又将如何?解:产品A单位利润降为53元,则171−=Δc;产品B单位利润升至160元,则402=Δc。使用图3-1的结果计算单个变化比率和总变化比率:所以昀优生产计划不会改变,总利润的相应增量为(-17)×20+40×24=620(元)。如果产品A和B的单位利润分别变为95元和90元,则251=Δc,302−=Δc,经计算121+=vvVT,所以昀优解会发生变化。从原昀优表(表3-2)出发→jc70120000BCBXb′1x2x3x4x5x03x84001-3.121.16701x201000.4-0.21202x24010-0.120.164280000-13.6-5.2修改相应的参数值得新单纯形表如下:→jc9590000BCBXb′1x2x3x4x5xiθ03x84001-3.12[1.16]72.4951x201000.4-0.2/902x24010-0.120.161504280000-27.24.6→jc9590000BCBXb′1x2x3x4x5x05x2100/290025/29-78/291951x1000/29105/29-4/290902x360/2901-4/299/290.16127400/2900-115/29-430/2903.2.4其他形式的灵敏度分析对增加新变量、增加新约束条件或系数发生变化等灵敏度分析,处理方法是从原问题的昀优单纯形表出发,适当修改后继续进行迭代以获得变化后的问题的昀优解。例8在第二章例1中,该厂除了生产产品A,B外,还设计了一种新产品C。已知产品C的单位利润为110(元);生产一单位产品C需使用劳动力6工时,设备5小时,消耗7公斤原材料。问该厂是否应生产产品C和生产多少?解:令6x表示产品C的产量。根据题意我们在昀优单纯形表(表3-2)中增加变量6x,6x的目标函数系数为110,6x对应的列为6x对应的检验数()[]6552120607048101106...σ=×+×+−×−=表3-4是修改后的单纯形表,它是新问题的一个基可行解的单纯形表。经迭代后可获得新问题的昀优单纯形表(表3-5)由表3-5可得新昀优生产方案:生产产品B6.667单位,产品C33.333单位;不生产产品A。总利润为4466.67元,比原计划增加了186.67元。例9某工厂采用研磨和钻孔两种加工工艺生产五种产品Pl,P2,…,P5。扣除成本后,每单位产品可获得的利润如下:P1P2P3P4P5利润(元)550600350400200每单位产品在每一种加工中所花费的工时为:P1P2P3P4P5研磨1220—2515钻孔10816——此外,每单位产品的昀后装配需要20工时。已知产品P2的昀低需求和昀高需求分别为10和100个单位;产品P4的昀低需求和昀高需求分别为20和150个单位,其余产品的产量无限制。该厂有九台磨床和六台钻床,每周工作6天,每天两班,每班8小时。另用24名工人进行装配,每人每天一班。为获取昀大的总利润,试求一周内每种产品各应生产多少?并根据计算机求解后的输出结果回答下列问题:(1)这家工厂还有剩余的资源吗?如果有的话,是哪种资源?有多少?(2)增加一台磨床每周将增加多少利润?(3)如果钻孔的总工时下降至440,每周的利润有什么变化?(4)如果每周能增加劳动工时90人时,成本每人时8.5元,或者能租借研磨工艺100工时,每工时的租金为9.5元,您将选择哪一种方案?(5)如果产品P2的单位利润从600元增至650元,昀优生产计划有什么变化?总利润会有什么变化?(6)产品P1的单位利润在什么范围内变化,昀优生产方案保持不变?总利润有改变吗?(7)若产品P4的昀低需求变为25,或产品P2的昀低需求变为5,总利润又是多少?(8)若减少两台磨床,对总利润有什么影响?解:设jx表示一周内产品jP的产量。下面计算各种资源的限额。因工厂有9台磨床,每台一周工96小时,故共有864磨床工时。同理,每周的钻床工时为576。而装配工作总共使用24名工人,每人每周工作48小时,可给出的工作时间为1152小时。该问题的线性规划模型:(1)由各约束条件的松弛(或剩余)变量值可知工厂有136.4钻床工时的剩余。(2)增加1台磨床意味每周增加96磨床工时。磨床工时的影子价格为1
本文标题:第三章-对偶问题
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