概率论与数理统计(茆诗松)第二版第三章课后习题3.1参考答案

1第三章多维随机变量及其分布习题3.11．一批产品中有一等品50%，二等品30%，三等品20%．从中有放回地抽取5件，以X、Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，求(X,Y)的联合分布列．解：X,Y的全部可能取值分别为0,1,2,3,4,5，且ijijijijYiXPjiji−==×××−−⋅⋅===−−5,,0;5,4,3,2,1,0,2.03.05.0)!5(!!!5},{5L，故(X,Y)的联合分布列为0000003125.05000009375.00625.040001125.015.005.03000675.0135.009.002.02002025.0054.0054.0024.0004.0100243.00081.00108.00072.00024.000032.00543210XY2．100件商品中有50件一等品，30件二等品，20件三等品．从中不放回地抽取5件，以X、Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，求(X,Y)的联合分布列．解：X,Y的全部可能取值分别为0,1,2,3,4,5，且ijijijijYiXP−==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===5,,0;5,4,3,2,1,0,51005203050},{L，故(X,Y)的联合分布列为000000281.0500000918.00612.040001132.01562.00495.03000661.01416.00927.00185.0200182.00539.00549.00227.00032.010019.00073.00102.00066.00019.00002.00543210XY3．盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X表示取到黑球的个数，以Y表示取到红球的个数，试求P{X=Y}．解：35935335647222347221213}2,2{}1,1{}{=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===+====YXPYXPYXP．4．设随机变量Xi,i=1,2的分布列如下，且满足P{X1X2=0}=1，试求P{X1=X2}．225.05.025.0101PXi−解：因P{X1X2=0}=1，有P{X1X2≠0}=0，即P{X1=−1,X2=−1}=P{X1=−1,X2=1}=P{X1=1,X2=−1}=P{X1=1,X2=1}=0，分布列为25.05.025.025.00015.0025.000110112jippXX⋅⋅−−25.05.025.025.0025.0015.025.0025.0025.0025.00110112jippXX⋅⋅−−故P{X1=X2}=P{X1=−1,X2=−1}+P{X1=0,X2=0}+P{X1=1,X2=1}=0．5．设随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧−−=.,0,42,20),6(),(其他yxyxkyxp试求（1）常数k；（2）P{X1,Y3}；（3）P{X1.5}；（4）P{X+Y≤4}．解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdyyxp，得18)6()26(26)6(20220204222042==−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−∫∫∫∫kxxkdxxkyxyykdxdyyxkdx，故81=k；（2）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=1032210322681)6(81}3,1{yxyydxdyyxdxYXP8322781278110210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫xxdxx；（3）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=5.104225.10422681)6(81}5.1{yxyydxdyyxdxXP3227)6(81)26(815.1025.10=−=−=∫xxdxx；（4）∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=[phone](81}4{xxyxyydxdyyxdxYXP3262681246812032202=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∫xxxdxxx．x0224yx0224y13x0224y1.5x0224y36．设随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧=+−.,0,0,0,e),()43(其他yxkyxpyx试求（1）常数k；（2）(X,Y)的联合分布函数F(x,y)；（3）P{0X≤1,0Y≤2}．解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdyyxp，得112e12e4e41e030300)43(00)43(==−==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅=+∞−∞+−∞++∞+−∞+∞++−∫∫∫∫kkdxkkdxdykdxxxyxyx，故k=12；（2）当x≤0或y≤0时，F(x,y)=P(∅)=0，当x0且y0时，∫∫∫∫−−+−+−−=−⋅==xyuxyvuxyvudududvduyxF04300)43(00)43()e1(e3]e3[e12),()e1)(e1()e1(e43043yxxyu−−−−−−=−−=故(X,Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧−−=−−.,0,0,0),e1)(e1(),(43其他yxyxFyx（3）P{0X≤1,0Y≤2}=P{X≤1,Y≤2}=F(1,2)=(1−e−3)(1−e−8)．7．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧=.,0,10,10,4),(其他yxxyyxp试求（1）P{0X0.5,0.25Y1}；（2）P{X=Y}；（3）P{XY}；（4）(X,Y)的联合分布函数．解：（1）∫∫∫⋅==5.00125.025.00125.024}125.0,5.00{xydxxydydxYXP641516158155.0025.00===∫xxdx；（2）P{X=Y}=0；（3）∫∫∫∫−=⋅==1031012101)22(24}{dxxxxydxxydydxYXPxx21211042=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=xx；（4）当x0或y0时，F(x,y)=P(∅)=0，当0≤x1且0≤y1时，x0yx0y12x0y11x0y110.50.25x0y114220220200200224},{),(yxyuduuyuvduuvdvduyYxXPyxFxxxyxy===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当0≤x1且y≥1时，20200102010224},{),(xuuduuvduuvdvduyYxXPyxFxxxx===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x≥1且0≤y1时，210221021002100224},{),(yyuduuyuvduuvdvduyYxXPyxFyy===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x≥1且y≥1时，F(x,y)=P(Ω)=1，故(X,Y)的联合分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≥≤≤≤=.1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,,00,0),(2222yxyxyyxxyxyxyxyxF或8．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧=.,0,10,),(2其他xyxkyxp（1）试求常数k；（2）求P{X0.5}和P{Y0.5}．解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdyyxp，得1632)(1032102101022==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=⋅=∫∫∫∫kxxkdxxxkykdxkdydxxxxx，故k=6；（2）∫∫∫∫−=⋅==15.0215.015.0)66(66}5.0{22dxxxydxdydxXPxxxx5.0)23(15.032=−=xx；∫∫∫∫−=⋅==5.005.005.00)66(66}5.0{dyyyxdydxdyYPyyyy432)34(5.00223−=−=yy．9．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧−=.,0,10),1(6),(其他yxyyxp（1）求P{X0.5,Y0.5}；（2）求P{X0.5}和P{Y0.5}；（3）求P{X+Y1}．解：（1）81)1()1(3])1(3[)1(6}5.0,5.0{15.0315.0215.01215.01=−−=−=−−⋅=−=∫∫∫∫xdxxydxdyydxYXPxx；x0y11x0y110.5x0y110.5x0y110.50.55（2）∫∫∫−−⋅=−=5.00125.001])1(3[)1(6}5.0{xxydxdyydxXP87)1()1(35.0035.002=−−=−=∫xdxx；∫∫∫−−⋅=−=5.005.025.005.0])1(3[)1(6}5.0{xxydxdyydxYP21)1(43)1(3435.0035.002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−=∫xxdxx；（3）∫∫∫−−−−⋅=−=+5.00125.001])1(3[)1(6}1{xxxxydxdyydxYXP43])1([])1(33[5.00335.0022=−−−=−+−=∫xxdxxx．10．设随机变量Y服从参数为λ=1的指数分布，定义随机变量Xk如下：2,1.,1,,0=⎩⎨⎧≤=kkYkYXk．求X1和X2的联合分布列．解：因Y的密度函数为⎩⎨⎧≥=−.0,0,0,e)(yyypyY且X1和X2的全部可能取值为0,1，则1101021e1ee}1{}2,1{}0,0{−−−−=−==≤=≤≤===∫yydyYPYYPXXP，P{X1=0,X2=1}=P{Y≤1,Y2}=P(∅)=0，21212121eeee}21{}2,1{}0,1{−−−−−=−==≤=≤===∫yydyYPYYPXXP，22221eee}2{}2,1{}1,1{−+∞−+∞−=−======∫yydyYPYYPXXP，故X1和X2的联合分布列为221112eee10e1010−−−−−−XX11．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧+=.,0,20,10,3),(2其他yxxyxyxp求P{X+Y≥1}．解：∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=≥[phone]}1{xxxyyxdxdyxyxdxYXP72652459441653421104321032=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=∫xxxdxxxx．x0y110.50.5x0y110.50.5x0y110.50y12x1612．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧=−.,0,0,e),(其他yxyxpy试求P{X+Y≤1}．解：∫∫∫∫−−−−−−+−=−⋅==≤+5.0015.0015.001)ee()e(e}1{dxdxdydxYXPxxxxyxxy5.015.001e2e1)ee(−−−−−+=−−=xx．13．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧=.,0,20,10,2/1),(其他yxyxp求X与Y中至少有一个小于0.5的概率．解：85831431211}5.0,5.0{1}5.0},{min{15.015.025.0=−=−=−=≥≥−=∫∫∫dxdydxYXPYXP．14．从(0,1)中随机地取两个数，求其积不小于3/16，且其和不大于1的概率．解：设X、Y分别表示“从(0,1)中随机地取到的两个数”，则(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧=.,0,10,10,1),(其他yxyxp故所求概率为∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−==≤+≥−4341434111631631}1,163{dxxxdydxYXXYPxx3ln16341ln1632143412−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=xxx．x0y110.50y12x0.50.5x0y113/41/4