不等式与不等式组知识点与练习

不等式与不等式组知识点整理一、知识要点：1、不等式和一元一次不等式的含义。①如：－3﹥－5，b＋1≤3，2x﹤y，－1﹤x≤3，x≠1等，含有不等号的式子可称作不等式；而：②如：y－3﹥－5，b＋1≤2b－3，2x＋1﹤4等，是不等式并只含有1个未知数，同时未知数的次数是1，则可称为一元一次不等式。2、不等式的解、解集、解不等式的概念。举例：判断下列哪些是不等式x＋4﹥7的解？哪些不是不等式的解？－4，－3．5，1，2．3，3．017，214，7，11。分析：由3＋3=6可知：（1）当x﹥3时，不等式x＋4﹥7成立；（2）当x﹤3或x=3时，不等式x＋3﹥6不成立。也就是说，任何一个大于3的数都是不等式x＋4﹥7的解（如题目中的x=7就是不等式x＋4﹥7其中的1个解）。这样的解有无数个，因此x﹥3表示了能使不等式成立的未知数“x”的取值范围，我们把它叫做不等式x＋4﹥7的解的集合，简称解集。而求不等式的解或解集的过程叫做解不等式。3、不等式的三个性质：（思考：与等式基本性质对比有何异同？）①如果a﹥b，那么a±c﹥b±c；【移项的依据】②如果a﹥b，c﹥0，那么a·c﹥b·c（或a÷c﹥b÷c）；【去分母、系数化为1的依据】③如果a﹥b，c﹤0，那么a·c﹤b·c（或a÷c﹤b÷c）；【去分母、系数化为1的依据】4、不等式解集的数轴表示。举例：（注意数轴看作由无数个点组成，每一个点都与一个数对应，注意空空心心点和实心点的用法。）4、利用不等式性质解一元一次不等式。二、应用举例：【例1】下列不等式，那些总成立？那些总不成立？那些有时成立而有时不成立？（1）－9．4﹤2，（2）3﹥0，（3）b＋5﹤0，（4）︱x︱﹥0，（5）12b﹤0，（6）5＋x﹥5－x。分析：主要考虑未知数的取值，特别是正数、负数和零。【例2】（07临沂试题）若a﹤b﹤0，则下列式子：①a＋1﹤b＋2，②ba﹥1，③a＋b﹤ab，④a1﹤b1中，正确的有（）。A、1个B、2个C、3个D、4个分析：由a﹤b﹤0得，a、b同为负数并且︱a︱﹥︱b︱。如取a=－2，b=－1代入式子中。三、练习：1、下列式子：①－3﹤0，②4x＋3y﹥0，③x=3，④12yx，⑤x≠5，⑥x－3﹤y＋2，其中是不等式的有（）。A、5个B、4个C、3个D、2个2、有理数a、b在数轴上位置如图所示，用不等式表示：①a＋b____0，②ab____0，③︱a︱____︱b︱。3、若a﹥b，则下列式子一定成立的是（）。A、a＋3﹥b＋5，B、a－9﹥b－9，C、－10a﹥－10b，D、a2c﹥b2c4、下列结论：①若a﹤b，则a2c﹤b2c；②若ac﹥bc，则a﹥b；③若a﹥b且若c=d，则ac﹥bd；④若a2c﹤b2c，则a﹤b。正确的有（）。A、4个B、3个C、2个D、1个5、如果不等式（a＋1）x﹥（a＋1）的解为x﹤1，则必须满足a________。6、求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来。（1）4x－7﹥3x－1（2）2（x－6）﹤3－x7、已知m﹤0，n﹥0，m＋n﹥0，用“﹥”号连接：m，n，－m，－n，m－n，n－m。【作业：】1、若0﹤a﹤1，则下列四个不等式中正确的是（）。A、a﹤1﹤a1，B、a﹤a1﹤1，C、a1﹤a﹤1，D、1﹤a1﹤a。2、求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来。（1）2x－5﹥5x－11（2）3x－2（1－2x）≥1不等式与不等式组（2）一、知识要点：1、解一元一次不等式的依据是不等式的三个性质。2、解一元一次不等式的一般步骤：（与解一元一次方程类似）（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化成1（注意不等号开口的方向）。举例：解不等式：215312xx≤1，并把解集在数轴上表示出来。解：去分母（不等式两边同时乘以6）得：6×（215312xx）≤1×6即：2（12x）－3（15x）≤6去括号（利用乘法分配律）得：24x－315x≤6移项（要移动的项必须变号）得：x4－x15≤6＋2＋3合并同类项得：－11x≤11系数化成1得：x≥－1（注意不等号方向是否需要改变）所以，原不等式的解集在数轴上表示为：3、列一元一次不等式解应用题。方法、步骤与列一元一次方程解应用题类似，关键是设元和找出题目中各数量存在的不等关系。二、应用举例：【例1】（07枣庄试题）不等式2x－7≤5的正整数解有（）。A、7个B、6个C、5个D、4个分析：先求出不等式的解：x≤6，再从中找出符合条件的正整数。【例2】如果3)1(2x的值是非正数，则x的取值范围是（）。A、x≤1B、x≥1C、x≤－1D、x≥－1分析：非正数也就是：0和负数，即3)1(2x≤0。【例3】某景点的门票是10元/人，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，现在有18位游客买了20人的团体票，（1）问这样比买普通个人票总共便宜多少钱？（2）问：当不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？分析：依题意得：（1）18×10－20×10×0．8=20（元）（2）可设x人买20人的团体票才比普通票便宜，则10x﹥20·10·0．8解这个不等式得：x﹥16，即17、18、19人时买20人的团体票才比普通票便宜。三、练习：1、解不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）23xx≥1（2）125y﹤223y2、当x的范围是__________时，代数式3－7x的值总不小于3x－4的值。3、关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示，则a的取值是（）。A、0，B、－3，C、－2，D、－14、某种商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于5%，则至多可打（）。A、6折B、7折C、8折D、9折5、某种出租车收费标准：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都须付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2．4元（不足1千米按1千米计）。某人乘这种出租车从A地到B地共付车费19元，那么A地到B地路程的最大值是（）。A、5千米B、7千米C、8千米D、15千米6、某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）按7折优惠。甲班有56名学生，乙班有54名学生。（1）若两班学生一起前往参观博物馆，请问购买门票最少共需花费多少元？（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比实际人数按8折优惠购买门票更便宜？【作业：】1、若4与某数的7倍的和不小于6与这个数的5倍的差，则这个数的范围是（）。A、不小于61，B、不大于61，C、不小于61，D、不大于61。2、求不等式的mm)3(10﹤80非负整数解。不等式与不等式组（3）一、知识要点：1、一元一次不等式组的概念。2、一元一次不等式组的解集的概念。（关键：两个不等式解集的公共部分）3、解一元一次不等式组的方法和步骤：（1）分别求出每个不等式的解集；（2）利用数轴表示这些不等式的解集的公共部分；如：①x﹥1且x﹥3，则解集中有公共部分；②x﹤0且x﹥3，则解集中无公共部分如图：如图：∴x﹥3∴此不等式组无解。4、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情形：不等式组（其中：a﹤b）在数轴上表示不等式组的解集口诀bxaxx﹥b同大取大bxaxx﹤a同小取小bxaxa﹤x﹤b大小、小大中间夹bxax无解大大、小小无解集解题的关键：不等式组中的两个不等式的解集有无公共部分，且公共部分是什么。二、应用举例：【例1】不等式组0112xx的解集是（）。A、x﹥－21B、x﹤－21C、x≤1D、－21﹤x≤1分析：先求出每一个不等式的解集，再看两个解集的公共部分是什么。0112xx解不等式①得：x﹥－21，解不等式②得：x≤1；解集在数轴表示如下：∴原不等式组的解集为：－21﹤x≤1（大小、小大中间夹）。【例2】不等式组2xkx无解，则k的取值范围是（）。A、k=2B、k﹥2C、k≤2D、k≥2分析：根据大大、小小无解集，可得k是较大的数，2是较小的数（但k可以等于2）即：k≥2。【例3】不等式组0112xx的整数解是：__________________。分析：先求出不等式组的解集－21﹤x≤1，再从中选出整数：0和1。三、练习：1、解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来。（1）xxx12102（2）4133)2(2xxxx①②2、解不等式组xxxx8)1(31123，并写出该不等式组的整数解。3、不等式组1159mxxx的解集是x﹥2，则m的取值范围是（）。A、m≤2B、m≥2C、m≤1D、m﹥14、幼儿园新购进的一批玩具分给小朋友，若每人分3件，那么还剩59件；若每人分5件，那么最后一个小朋友分到玩具，但不足4件，则有_____位小朋友，共有______件玩具。5、暑假小张一家为体验生活，自驾车外出旅游，计划每天的行驶路程相同。如果汽车每天比原计划多走19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天比原计划少走12公里，那么行驶同样的路程需要9天多的时间，求这辆车原计划每天行驶多少公里？【作业：】1、能同时满足不等式x﹥－1和x﹤2的整数有（）。A、1个B、2个C、3个D、4个2、解不等式组xxxx238262，并把解集在数轴上表示出来。3、将一箱苹果分给若干名小朋友，若每人分5个苹果，那么还剩12个苹果；若每人分8个苹果，那么最后一个小朋友分不到8个苹果，求这一箱苹果的个数和小朋友的人数。