导数的几何意义

M△x△yxoyy=f(x)AB复习：1、函数的平均变化率2、函数在某一点处的导数的定义（导数的实质）3、函数的导数、瞬时变化率、平均变化率的关系βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy▲如图：PQ叫做曲线的割线那么，它们的横坐标相差（）纵坐标相差（）yx请问：是割线PQ的什么?导数的几何意义:xy斜率▲当Q点沿曲线靠近P时，割线PQ怎么变化？△x呢？△y呢？PQoxyy=f(x)割线切线T导数的几何意义:我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.PQoxyy=f(x)割线切线T【例1】求曲线y=x2在点P(1,1)处的切线的方程。k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim解：△y=f(1+△x)-f(1)=(1+△x)2-1=2△x+（△x）2xxxxxy222∴曲线在点P(1,1)处的切线的斜率为2)2(lim0xkx因此，切线方程为y-1=2(x-1)即：y=2x-1（4）根据点斜式写出切线方程求斜率【总结】求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的方法：(1)求△y=f(x0+△x)-f(x0)xy求)2(xykx0lim3）（k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim练习:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx在不致发生混淆时，导函数也简称导数．000()()()()().yfxxfxfxfxx函数在点处的导数等于函数的导函数在点处的函数值函数导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:【例2】k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim）的切线方程。，过点（求抛物线625xy2200解：设切点（x，x）5(6),2P又切线过点，0)2x0则k=f(x02x200x-6其斜率应满足5x-2200即x-5x+6=00解得x=2，312且k=4,k=6即切线方程y=4x-4,y=6x-9(5)根据点斜式写出切线方程【总结】求过曲线y=f(x)外点P(x1,y1)的切线的步骤：xykx0lim2）利用所设切点求斜率（k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim(1)设切点(x0，f(x0))(3)用(x0，f(x0))，P(x1,y1)表示斜率(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k归纳总结①判断已知点是否在曲线上，若不在曲线上则设切点为(x0,y0)；②利用导数的定义式求切线斜率③根据点斜式写出切线方程1、导数的几何意义2、利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：随堂检测：1.已知曲线y=2x2上一点A(1,2)，求（1）点A处的切线的斜率；（2）点A处的切线方程。2.求曲线y=x2+1在点P(-2,5)处的切线的方程。3、求曲线y=x-1过点(2,0)的切线方程001解：设切点（x，）x(2),P又切线过点，0201)x0则k=f(x201x001x其斜率应满足x-20解得x=1即切点为（1，1)且k=-1切线方程:x+y-2=03、求曲线y=x-1过点(2,0)的切线方程12)(2xxxf4、曲线在点M处的切线的斜率为2，求点M的坐标。223xy13xy5、在曲线上求一点，使过该点的切线与直线平行。思考与探究曲线在某一点处的切线只能与曲线有唯一公共点吗？下图中，直线是否是曲线在点P处的切线？xoyPxoyy=f(x)设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点A(x0,y0)及邻近一点B(x0+△x,y0+△y),过A、B两点作割线，当点B沿着曲线无限接近于点A点A处的切线。即△x→0时,如果割线AB有一个极限位置AD,那么直线AD叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义△x△yABD设割线AB的倾斜角为β，切线AD的倾斜角为α当△x→0时，割线AB的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，即tanα=D△x△yβαxxfxxfxyxx)()(0000limlim曲线在某一点处的切线的斜率公式xoyy=f(x)ABtanβ=xyxxfxxf)()(00