正项级数及其审敛法-()

第二节正项级数及其审敛法一、正项级数概念二、正项级数比较审敛法三、达朗贝尔比值审敛法四、柯西根值审敛法一、正项级数概念1、定义:1,0nnnaa则称级数若为正项级数.正项级数部分和数列{sn}为单调增加数列.2、正项级数收敛的充要条件:(基本定理)正项级数收敛部分和数列{sn}有界.若收敛,∴部分和数列{sn}单调递增,从而又已知{sn}有界,故有界.故{sn}收敛,也收敛.证“”“”二、正项级数比较审敛法1、比较审敛法1（一般形式）,11均为正项级数和设nnnnba,),1,(kknbann且自某项起有11(1),.nnnnba若收敛则也收敛11(2),.nnnnab若发散则也发散证明nnaaas21且1(1)nnnb设,(1,2,)nnabn,n即部分和数列有界.1收敛nnanbbb21nns则)()2(nsn设,nnba且n不是有界数列,.1发散nnb例1证明级数1)1(1nnn是发散的.证明,11)1(1nnn,11121发散而级数nnnn.)1(11nnn发散级数比较审敛法的不便:须有基本级数.例2讨论P-级数ppppn14131211的收敛性.)0(p解,1p设,11nnp.级数发散则P,1p设oyx)1(1pxyp1234由图可知nnppxdxn11pppnns131211nnppxdxxdx1211npxdx11)11(1111pnp111p,有界即ns.级数收敛则P发散时当收敛时当级数,1,1ppP重要基本级数:几何级数,P-级数,调和级数.例2讨论p-级数ppppn14131211的收敛性.)0(p解,1)1时当p,11nnp.11发散级数npnp,11发散而级数nn,1)2时当p,11ppxn则有nnppxnn1d11nnpxx1d1pppnns131211nnppxxxx121d1d11npxx1d11)11(1111pnp111p,}{有界即ns.级数收敛则p发散时当收敛时当级数,1,111ppnpnp重要基本级数几何级数,p-级数,调和级数.调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在,NN对一切,Nn例3判别级数)1(11nnnn的敛散性.证明)1(1)1(1nnnnnn,1123收敛而级数nn.)1(11收敛级数nnnn,1123nnn推论(比较审敛法1)设且存在对一切有(1)若级数则级数(2)若级数则级数收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k0),比较判别法的关键是找出基本级数.当级数一般项较复杂时,不容易比较,可用下列比较判别法的极限形式.2、比较审敛法2(比较审敛法的极限形式),11均为正项级数和设nnnnba则有有确定意义若极限,limlbannn两个级数有相同的敛散性；(1)当0l时,(2)当l0时,;11收敛收敛可推出由nnnnab(3)当l时,.11发散发散可推出由nnnnab例4判定下列级数的敛散性:(1)11sinnn;(2)1211nnn;(3)1341nnn.解22111lim)2(nnnnnnn11sinlim)1(,1∴原级数发散.1lim22nnnn,1,11发散而nn∴原级数收敛.,112收敛而nnnnnn41341lim)3(nn4311lim,1,411收敛而nn∴原级数收敛.推论(比较审敛法2)：111(1)lim0(lim),.(2)1lim.nnnnnnnnpnnnnanalnaapnaa设级数为正项级数，若或则级数发散若，使得存在，则级数收敛例4判定下列级数的敛散性:(1)11sinnn;(2)1211nnn;(3)1341nnn.解22(2)lim11nnnn1(1)limsin1nnn∴原级数发散.∴原级数收敛.3、比较审敛法3(比阶审敛法).,11时的无穷小均为和通项均为正项级数和设nbabannnnnn.,)1(11收敛收敛可推出由的同阶或高阶无穷小时为当nnnnnnabba.,)2(11发散发散可推出由的同阶或低阶无穷小时为当nnnnnnabba.,)3(性两个级数有相同的敛散时～当nnba例5判别级数)0(cos11knkn的敛散性.解~cos1,nkn时当2221nk,1222nk,12122收敛而nnk.cos11收敛nnk例6判别级数111lnnkn的敛散性.解~11ln,knn时当,1kn.,1,,1原级数发散时当原级数收敛时当kk121111111)(0)sintanarctanln(1)11(1cos)1212)(0)(,0)pnpppppnpkpkpannpnnnnnennApABknnB在估计关于的阶的时候，以下的等价无穷小是有用的：时有：为常数，思考题设正项级数1nnu收敛,能否推得12nnu收敛?反之是否成立?解由正项级数1nnu收敛，可以推得12nnu收敛,nnnuu2limnnulim0由比较审敛法2知收敛.12nnu反之不成立.例如：121nn收敛,11nn发散.例7判别下列级数的收敛性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)1!nnnn;三、比值审敛法(D’Alembert判别法),1为正项级数设nna则有有确定意义若极限,lim1nnnaa级数收敛；(1)当01时,(2)当1时,(3)当1时,级数发散；级数敛散性需另行判定.比值审敛法的优点:不必找基本级数.例7判别下列级数的收敛性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)1!nnnn;解!1)!1(11limlim)1(nnnnnnaa11limnn,0.!11收敛nn!1010)!1(limlim)2(11nnaannnnnn1lim10nn1!.10nnn发散例7判别下列级数的收敛性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)1!nnnn;解!)1()!1(limlim)3(11nnnnaannnnnn.!1收敛故级数nnnnnnnnn)1(lime1!,,nannnn注：当中含有次幂，关于的连乘积或者指数出现常用比值审敛法.1(21)2limlim(23)(22)nnnnannann,1比值审敛法失效,改用比较审敛法211,(21)24nnn,112收敛而级数nn.)12(211收敛故级数nnn例8判别级数11(21)2nnn的敛散性.解例9讨论级数)0(11xxnnn的敛散性.解1)1(limnnnxnxnnnnaa1limx,10时当x级数收敛；,1时当x级数发散；,1时当x例10判别级数1223cosnnnn的收敛性.解,223cos2nnnnnnnnnn221lim1,121,21收敛级数nnn∴原级数收敛.注：多种审敛法可结合应用。说明:.,lim1lim)1(11比值审敛法失效不存在或若nnnnnnaaaa.)2(条件是充分不必要的.1lim,11nnnnnaaa未必有收敛若即：.,,,,!)3(常用比值审敛法或指数出现的连乘积关于次幂中含有当nnnnan.,,)4(证明常用比较审敛法或定义一般不可用比值审敛法凡涉及抽象证明题111,,,.(0-)nnnnnnnnnnnnnacabcbbaca例已知任意项级数都收敛，且有试证：也收敛提示：四、根值审敛法(柯西判别法),1为正项级数设nna则有有确定意义若极限,limnnna级数收敛；(1)当01时,(2)当1时,(3)当1时,级数发散；级数敛散性需另行判定..lim,常用根值审敛法级数易求的等当一般项中含有nnnnnaan.1)1:1的敛散性判定级数例nnn2)判定级数131nnnn的敛散性.3)判定级数143nnn的敛散性.五、正项级数的柯西积分审敛法.d)(),2,1()()(),1[,111同敛散与反常积分则级数使得单减函数上的连续若有定义在对正项级数xxfananfxfannnnn11()()().nnnfxfnaafxdx思路：构造一个单调递减函数，使得则与同敛散21lnnnn例判定级数的敛散性.六、利用级数收敛的必要条件可以求数列极限例：求数列的极限,!lim)1nnnn2)11(lim)2nnn如果级数1nna收敛,则0limnna.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件lim0nna不满足发散满足比值审敛法limn1nana根值审敛法limnnna1收敛发散1不定比较审敛法用其他判别法积分判别法部分和极限122111111(!)(1)(2)2(3)(0,0)12(0,0).1nnnnsnnnnnnnnaasnaabb练习：、判定下列级数的敛散性：、讨论级数的敛散性3、讨论级数)0,(11babannn的敛散性.小结判别正项级数敛散性步骤：1nna是否为零nnalim否原级数发散.是或无法求1.按定义2.利用性质3.基本定理5.比值审敛法6.根值审敛法7.积分审敛法4.比较审敛法一、填空题:1、p级数当_______时收敛,当_______时发散；2、若正项级数1nnu的后项与前项之比值的极限等于,则当________时级数收敛；________时级数发散；___________时级数可能收敛也可能发散.二、用比较审敛法判别下列级数的收敛性:1、22211313121211nn；2、)0(111aann.练习题三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性:1、nnn232332232133322；2、1!2nnnnn.四、用根值审敛法判别下列级数的收敛性:1、1)]1[ln(1nnn；2、121)13(nnnn.五、判别下列级数的收敛性:1、nn1232；2、13sin2nnn；3、)0()1()2ln(1anannn.练习题答案一、1、1,1pp；2、1),lim(1,11nnnuu或.二、1、发散；2、发散.三、1、发散；2、收敛.四、1、收敛；2、收敛.五、1、发散；2、收敛；3、.,1;,10;,1发散发散收敛aaa