数学模型-第06章(第五版)

•差分方程~若干离散点上未知变量数值的方程.•描述离散时间段上客观对象的动态变化过程.•现实世界中随时间连续变化的动态过程的近似.•差分方程与代数方程都是离散模型的数学表述，二者有着类似的向量-矩阵表达形式，求解过程也存在相互联系.第六章差分方程与代数方程模型6.1贷款购房6.2管住嘴迈开腿6.3市场经济中的物价波动6.4动物的繁殖与收获6.5信息传播6.6原子弹爆炸的能量估计6.7CT技术的图像重建6.8等级结构6.9中国人口增长预测第六章差分方程与代数方程模型每月还多少钱贷款购房需考虑的问题买多大的房子一共贷多少钱网上的房贷计算器轻击鼠标即得输入必要信息贷款购房——最简单的差分方程模型6.1贷款购房单利和复利单利~１万元存5年定期,年利率4.75%,到期后本息(本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.两种计算利息的基本方式复利~１万元存1年定期,年利率为3%,到期不取则自动转存,5年后本息：10000(1+0.03)5=11593元.利滚利！复利本息：(1+r)n单位本金、同一利率r、同一存期n计算单利和复利：单利本息：1+nr1+nr零存整取~每月固定存额，约定存款期限，到期一次支取本息的定期储蓄.按单利计算的业务——零存整取单利和复利方式：5元起存，多存不限，存期1年、3年、5年.勤俭节约、科学理财例每月存入3000元，存期５年（年利率3.5%）零存整取计算器累计存入金额180,000元到期本息总额196,012.50元单利和复利按单利计算的业务——零存整取a~每月存入金额,r~月利率,n~存期(月)xk~存入k个月后的本息k=n递推至k=１a=3000,r=0.035/12,n=125(月)xn=196,012.50x1=a+arxk=xk-1+a+akr,k＝2,3,…,nx2=x1+a+a2rxn=na+ar(1+2+…+n)=na+ar𝒏(𝒏+𝟏)𝟐等额本息贷款和等额本金贷款房贷计算器的选项•贷款类别：商业贷款,公积金,组合型年利率不同•计算方法：根据贷款总额或面积、单价计算.•按揭年数：可选１至30年.选择20年.•银行利率：基准利率、利率上限或下限.选择商业贷款的基准利率6.55%.•还款方式：等额本息还款或等额本金还款.等额本息贷款和等额本金贷款例1“房贷计算器”选择等额本息还款,输入:商业贷款总额100万元,期限20年,年利率6.55%.建立等额本息还款方式的数学模型,并作数值计算．等额本息还款~每月归还本息(本金加利息)数额相同.等额本金还款~每月归还本金数额相同,加上所欠本金的利息.所欠本金逐月减少每月还款金额递减点击“开始计算”得:还款总额1796447.27元,月均还款7485.2元.等额本息还款模型a~每月还款金额x0~贷款总额r~月利率n~贷款期限(月)xk~第k月还款后尚欠金额xk=xk-1(1+r)a,k＝1,2,…,nk=n递推至k=１贷款到期时xn=01)1()1(0nnrrrxaxn=x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]=x0(1+r)na(1+r)n(1+r)n1本月欠额=上月欠额的本息还款金额等额本息还款模型1)1()1(0nnrrrxaA1~还款总额1)1()1(01nnrrrnxnaAa~每月还款金额x0~贷款总额r~月利率n~贷款期限(月)例1x0=100(万元),r=0.0655/12,n=1220=240(月)a=7485.2(元),A1=1796447.27(元)与房贷计算器给出的相同例２“房贷计算器”选择等额本金还款,输入:商业贷款总额100万元,期限20年,年利率6.55%.等额本息贷款和等额本金贷款建立等额本金还款方式的数学模型,并作数值计算.点击“开始计算”得到:还款总额1657729.17元,每月还款金额由第１月的9625元逐月递减,最后１月为4189.41元.等额本金还款模型x0~贷款总额r~月利率n~贷款期限(月)xk~第k月还款金额还款金额逐月减少归还本金x0/n所产生的利息x0r/nnknrxxxkk,,3,2,01每月归还本金x0/nrxnxx001第1月还款金额k=n递推至k=2nkrnkxnxxk,2,1,)11(00等额本金还款模型x0~贷款总额r~月利率n~贷款期限(月)xk~第k月还款金额nkrnkxnxxk,2,1,)11(00210012nrxxxAnkkA2~还款总额例2x0=100(万元),r=0.0655/12,n=1220=240(月)x1=9625元,x240=4189.41(元),A2=1657729.17(元).与房贷计算器给出的相同等额本息与等额本金方式的比较•等额本息方式简单，便于安排收支.•等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,后期低于等额本息方式,适合当前收入较高人群.•等额本息方式还款总额大于等额本金方式.等额本息方式前期还款额较少,所欠本息的利息逐月归还,所以利息总额较大.例1例2：A1=1796447.27(元),A2=1657729.17(元).还款总额A1A2•模型适用于任何还款周期(半月、一季度等)——将公布的年利率折换为一个还款周期的利率.小结与评注•贷款购房两种基本还款方式：等额本息、等额本金.•要点:明确利息计算,列出差分方程,利用递推关系.•不同还款周期一次还款金额和还款总额都不一样.周期越短还款总额越小？测评体重的标准——体重指数(BMIBodyMassIndex)偏瘦正常超重肥胖世界卫生组织标准18.518.5～24.925.0～29.930.0我国参考标准18.518.5～23.924.0～27.928.0BMI=w/l2，w~体重(kg),l身高(m).例.l=1.70m,w=63.5kg•多数减肥食品达不到减肥效果，或不能维持.•通过控制饮食和适当运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并得以控制的目的.标准的身材!BMI=226.2管住嘴迈开腿模型分析人体通过食物摄入热量,通过代谢和运动消耗热量.二者平衡,体重不变.分析对热量的吸收和消耗,建立体重变化规律的模型.平衡被破坏则体重变化.•减肥计划应以不伤害身体为前提.•增加运动量是加速减肥的有效手段.•以周为时间单位制订减肥计划.吸收热量不过少、减少体重不过快.差分方程模型1）体重增加正比于吸收的热量,平均8000kcal增加体重1kg.2）代谢引起的体重减少正比于体重,每周每千克体重消耗200~320kcal(因人而异).3）运动引起的体重减少正比于体重,且与运动形式和运动时间有关.模型假设70kg每天消耗2000~3200kcal.4）为了安全与健康,每周吸收热量≥10000kcal,且每周减少量≤1000kcal;每周体重减少量≤1.5kg.调查资料食物米饭豆腐青菜苹果瘦肉鸡蛋热量(kcal/100g)12010020～3050～60140～160150运动步行(4km/h)跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50m/min)热量(kcal/hkg)3.17.03.04.42.57.9食物每百克所含热量运动每小时每千克体重消耗热量模型假设基本模型c(k)~第k周吸收热量(kcal)w(k)~第k周(初)体重(kg),k=1,2,…~热量转换系数平均8000kcal增加体重1kg,2,1),()()()1(kkwkckwkw~代谢系数(因人而异).由和吸收热量c(k)决定体重w(k)的变化规律.=1/8000(kg/kcal)减肥计划的提出某人身高1.70m,体重100kg,BMI高达34.6.目前每周吸收20000kcal热量,体重长期未变.制订减肥计划使体重减至75kg(BMI=26)并维持下去.1.在正常代谢情况下安排一个两阶段计划:第一阶段：吸收热量每周减少1000kcal,直至达到安全下限10000kcal/周；2.为加快进程而增加运动，重新安排两阶段计划.3.给出达到目标后维持体重不变的方案.第二阶段：每周吸收热量保持下限,达到减肥目标.减肥计划的制定1.确定某人的代谢消耗系数每周每千克体重消耗20000/100=200kcal每周吸收20000kcal,体重100kg不变.wcww正常代谢消耗相当弱.=1/8000c(k)=c,w(k+1)=w(k)=ww=100c=20000𝒘𝒌+𝟏=𝒘𝒌+c(k)−𝒘𝒌025.0100800020000wc2.正常代谢情况下的第一阶段计划•吸收热量由20000kcal每周减少1000kcal,直至达到安全下限10000kcal/周.𝒘𝒌+𝟏=𝒘𝒌+c(k)−𝒘𝒌10,,2,1,100020000)(kkkcc(10)=1000010,,2,1,125.05.2)(975.0)100020000()()1()1(kkkwkkwkw第11周(初)体重w(11)=93.6157kgw(1)=100kg第一阶段需10周3.正常代谢情况下的第二阶段计划•吸收热量保持下限cmin=10000kcal/周,体重减至75kg.𝒘𝒌+𝟏=𝒘𝒌+c(k)−𝒘𝒌w(11+22)=74.9888kg,12,11,25.1)(975.0)()1()1(minkkwckwkww(11+n)75w(11)=93.6157两阶段计划共需32周.第二阶段需22周.4.为加快进程而增加运动t~每周运动时间(h)~运动每小时每千克体重消耗热量)()()()()1(kwtkckwkw取t=4010,,2,1,125.05.2)(97.0)1(kkkwkw,12,11,25.1)(97.0)1(kkwkw+t+t=0.03w(11)=89.3319kg，w(11+12)=74.7388kg第二阶段缩短为12周两阶段计划共需22周.(如每周步行7h加乒乓4h)5.检验“每周体重减少量≤1.5kg”05101520253035707580859095100w(kg)k(周)正常代谢增加运动𝒘𝒌+𝟏=𝟎.𝟗𝟕𝟓𝒘𝒌+𝟐.𝟓−𝟎.𝟏𝟐𝟓𝒌,𝒌=𝟏,𝟐,…,𝟏𝟎𝟎.𝟗𝟕𝟓𝒘𝒌+𝟏.𝟐𝟓,𝒌=𝟏𝟏,𝟏𝟐,…𝒘𝒌+𝟏=𝟎.𝟗𝟕𝒘𝒌+𝟐.𝟓−𝟎.𝟏𝟐𝟓𝒌,𝒌=𝟏,𝟐,…,𝟏𝟎𝟎.𝟗𝟕𝒘𝒌+𝟏.𝟐𝟓,𝒌=𝟏𝟏,𝟏𝟐,…正常代谢增加运动编程计算w(k)w(k)−w(k+1)≤1.5kg√6.达到目标后维持体重不变的方案•每周吸收热量保持常数c使体重w=75kg不变.=15000kcal/周0102030405060708065707580859095100w(kg)k(周)c=15000c=14000c=13000c=12000wcww𝒘𝒌+𝟏=𝒘𝒌+c(k)−𝒘𝒌正常代谢𝑐=𝒘/c由20000kcal/周直接减至15000,14000,13000,12000时体重w(k)下降曲线.c=14000时w(72)=75kgc=12000时w(40)=75kg比两阶段计划的时间长，吸收热量突减对身体不利.75kg7.达到目标体重所需时间与每周吸收热量的关系/]/)1([)1(])1()1(1[)1()1()1(1ccwcwnwnnn令目标体重w*=w(n+1),记初始体重w1=w(1))1ln()/ln()/ln(1*cwcwn𝒘𝒌+𝟏=𝒘𝒌+c(k)−𝒘𝒌k=1递推至k=nw*=75w1=100c=14000n=70.7707c=12000n=38.7407小结与评注•减肥科学化、定量化——需