高中数学人教A版(课件)必修四-第一章-三角函数-1.2.1-

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数上一页返回首页下一页1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及应用．(重点)2．掌握诱导公式及其应用．(重点)3．初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切．(难点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1任意角的三角函数阅读教材P11～P12例1以上内容，完成下列问题．1．单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以___________为半径的圆为单位圆．单位长度上一页返回首页下一页2．定义：在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与______交于点P(x，y)那么：(1)y叫做α的______，记作______，即sinα＝y；(2)x叫做α的______，记作______，即cosα＝x；(3)yx叫做α的______，记作______，即tanα＝yx(x≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．图1－2－1单位圆正弦sinα余弦cosα正切tanα上一页返回首页下一页3．正弦函数sinα的定义域是___；余弦函数cosα的定义域是___；正切函数tanα的定义域是____________________________________．RRxx∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由sinα＝yr，故角α终边上的点P(x，y)满足y越大，sinα的值越大．()(2)终边相同的角，其三角函数值也相等．()(3)三角函数是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．()上一页返回首页下一页【解析】(1)当y越大时，yr比值不变，故sinα不变．(2)因为由正弦定义知正确．(3)因为由三角函数定义知正确．【答案】(1)×(2)√(3)√上一页返回首页下一页教材整理2正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号阅读教材P13“探究”内容，完成下列问题．图1－2－2口诀：“一全正，二______，三______，四______”．正弦正切余弦上一页返回首页下一页已知cosθ·tanθ0，那么角θ是________象限角．【解析】∵cosθ·tanθ0，∴sinθ0.故由象限角知识可知θ在第三或第四象限．【答案】第三或第四上一页返回首页下一页教材整理3诱导公式阅读教材P14“例4”以上内容，完成下列问题．上一页返回首页下一页cos－11π6等于________．【解析】cos－11π6＝cos－2π＋π6＝cosπ6＝32.【答案】32上一页返回首页下一页教材整理4三角函数线阅读教材P15倒数第四行至P17“练习”以上部分，完成下列问题．1．(1)把规定了正方向的直线称为有向直线．(2)有向线段：规定了____________________________________的线段称为有向线段．2．三角函数线的定义：如图1－2－3，①设任意角α的顶点在原点O(O亦为单位圆圆心)，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，②过点P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1，0)作单位圆的切线，③设它与角α的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T(由于过切点的半径垂直于圆的切线，所以AT平行于y轴)．方向(即规定了起点和终点)上一页返回首页下一页图1－2－3于是sinα＝y＝MP，cosα＝x＝OM，tanα＝yx＝MPOM＝ATOA＝AT.上一页返回首页下一页我们规定与坐标轴同向时，方向为正向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段_____________________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．3．轴线角的三角函数线：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成_________，此时角α的正弦值和正切值都为______；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线_________，此时角α的正切值__________．MP，OM，AT一个点0不存在不存在上一页返回首页下一页画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值．【解】如图，MP，OM，AT分别为正弦线，余弦线和正切线．sin7π6＝－12，cos7π6＝－32，tan7π6＝33.上一页返回首页下一页[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：上一页返回首页下一页[小组合作型]任意角三角函数的定义及应用上一页返回首页下一页【精彩点拨】准确理解任意角三角函数的定义是解题的关键．【自主解答】(1)由sinα，cosα的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A．(2)因为角－π3的终边与单位圆交于P12，－32，所以sinα＝－32，cosα＝12，tanα＝－3.上一页返回首页下一页(3)因为r＝（－3a）2＋（4a）2＝5|a|，①若a0，则r＝5a，角α在第二象限．sinα＝yr＝4a5a＝45，cosα＝xr＝－3a5a＝－35，所以2sinα＋cosα＝85－35＝1.②若a0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝4a－5a＝－45，cosα＝－3a－5a＝35，所以2sinα＋cosα＝－85＋35＝－1.【答案】(1)A(2)－3212－3(3)1或－1上一页返回首页下一页由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r0)．则sinα＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．上一页返回首页下一页[再练一题]1．设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.若点P的坐标为12，32，求f(θ)的值.【导学号：00680006】【解】由点P的坐标为12，32和三角函数定义得sinθ＝32，cosθ＝12，所以f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝3×32＋12＝2.上一页返回首页下一页三角函数符号的判断判断下列各式的符号．(1)sin2015°cos2016°tan2017°；(2)tan191°－cos190°；(3)sin2cos3tan4.【精彩点拨】角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)∵2015°＝1800°＋215°＝5×360°＋215°，2016°＝5×360°＋216°，2017°＝5×360°＋217°，∴它们都是第三象限角，∴sin2015°0，cos2016°0，tan2017°0，∴sin2015°cos2016°tan2017°0.(2)∵191°角是第三象限角，∴tan191°0，cos191°0，∴tan191°－cos191°0.上一页返回首页下一页(3)∵π22π，π23π，π43π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，∴sin20，cos30，tan40，∴sin2cos3tan40.上一页返回首页下一页判断三角函数值在各象限的符号的方法：(1)依据口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”判断．(2)记住正弦、余弦函数值的正负规律：上一页返回首页下一页[再练一题]2．(1)已知点P(tanα，cosα)在第四象限，则角α终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)下列各式()①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cosπ，其中符号为负的有()A．1个B．2个C．3个D．4个上一页返回首页下一页【解析】(1)因为点P在第四象限，所以有tanα0，cosα0，由此可判断角α终边在第三象限．(2)－100°在第三象限，故sin(－100°)0；－220°在第二象限，故cos(－220°)0；－10∈－72π，－3π，在第二象限，故tan(－10)0；cosπ＝－10.【答案】(1)C(2)D上一页返回首页下一页诱导公式一的应用求下列各式的值：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sin－11π6＋cos125π·tan4π.【精彩点拨】利用诱导公式，把每个角化为[0，2π)间的角，再利用特殊角的三角函数求值．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)sin－116π＋cos125π·tan4π＝sin－2π＋π6＋cos125π·tan0＝sinπ6＋0＝12.上一页返回首页下一页1．利用诱导公式一可把任意角的三角函数化归为[0，2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归(转化)思想．2．一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值．上一页返回首页下一页[再练一题]3．求下列各式的值：(1)cos253π＋tan－154π；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.上一页返回首页下一页【解】(1)cos253π＋tan－154π＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52.上一页返回首页下一页[探究共研型]三角函数线问题探究1为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cosα，sinα)，点T的坐标为(1，tanα)呢？【提示】由三角函数的定义可知sinα＝yr，cosα＝xr，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是(cosα，sinα)；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tanα＝yx，知纵坐标y＝tanα，所以点T的坐标为(1，tanα)．上一页返回首页下一页探究2利用三角函数线如何解答形如sinα≥a，sinα≤a(|a|≤1)；cosα≥a，cosα≤a(|a|≤1)的不等式．【提示】①对形如sinα≥a，sinα≤a(|a|≤1)的不等式：画出如图1所示的单位圆；在y轴上截取OM＝a，过点(0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′，并作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sinα≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式sinα≥a的角α的范围．图1上一页返回首页下一页②对形如cosα≥a，cosα≤a(|a|≤1)的不等式：画出如图2所示的单位圆；在x轴上截取OM＝a，过点(a，0)作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′，作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cosα≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式cosα≥a的角α的范围．图2上一页返回首页下一页在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．(1)sinα≥32；(2)cosα