定积分基本计算公式

一定积分计算的基本公式设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且设x为],[ba上的一点，xadxxf)(考察定积分xadttf)(记()().xaxftdt积分上限函数如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，§4.定积分的计算abxyo定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxaxx证dttfxxxxa)()()()(xxxdttfdttfxaxxa)()()(xxdttfdttfdttfxaxxxxa)()()(,)(xxxdttf由积分中值定理得(),fxxx,0),(fx)(limlim00fxxx).()(xfxabxyoxx)(xx.xxx在与之间如果)(tf连续，)(xa、)(xb可导，则dttfxFxbxa)()()()(的导数)(xF为补充()()()()fbxbxfaxax证:dttfxFxaxb)()(0)()(0dttfxb)(0)(,)()(0dttfxa)()()()()(xaxafxbxbfxF()()()()bxaxdFxftdtdx例1求.lim21cos02xdtextx解1cos2xtdtedxd,cos12xtdtedxd)(cos2cosxex,sin2cosxex21cos02limxdtextxxexxx2sinlim2cos0.21e00分析：这是型不定式，应用洛必达法则.例2设)(xf在),(内连续，且0)(xf.证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在),0(内为单调增加函数.证xdtttfdxd0)(),(xxfxdttfdxd0)(),(xf2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,)()()()()(200xxdttfdttftxxfxF)0(,0)(xxf,0)(0xdttf,0)()(tftx,0)()(0xdttftx).0(0)(xxF故)(xF在),0(内为单调增加函数.例3设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明1)(20dttfxx在]1,0[上只有一个解.证,1)(2)(0dttfxxFx,0)(2)(xfxF,1)(xf)(xF在]1,0[上为单调增加函数.,01)0(F10)(1)1(dttfF10)](1[dttf,0所以0)(xF即原方程在]1,0[上只有一个解.令基本公式如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.又dttfxxa)()(也是)(xf的一个原函数,已知)(xF是)(xf的一个原函数，CxxF)()(],[bax证令ax,)()(CaaF0)()(dttfaaa,)(CaF),()()(aFxFdttfxa,)()(CdttfxFxa令bx).()()(aFbFdxxfba)()()(aFbFdxxfba基本公式表明baFx一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间],[ba上的增量.注意当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题.牛顿—莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．例4求.)1sincos2(20dxxx原式202sincosxxx.23例5设,求.215102)(xxxxf20)(dxxf解解102120)()()(dxxfdxxfdxxf在]2,1[上规定当1x时，5)(xf,102152dxxdx原式.6xyo12例6求.},max{222dxxx解由图形可知},max{)(2xxxf,21100222xxxxxx21210022dxxxdxdxx原式.211xyo2xyxy122例7求解.112dxx当0x时，x1的一个原函数是||lnx,dxx12112ln||x.2ln2ln1ln例8计算曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形的面积.解面积xyo0sinxdxA0cosx.2二定积分的换元公式定理假设（1）)(xf在],[ba上连续；（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.证设)(xF是)(xf的一个原函数，),()()(aFbFdxxfba()[()],tFt令dtdxdxdFt)()()(txf),()]([ttf),()()()]([dtttf)(t是)()]([ttf的一个原函数.a)(、b)(,)()()]([)]([FF),()(aFbF()()()bafxdxFbFa)()(.)()]([dtttf注意当时，换元公式仍成立.应用换元公式时应注意:（1）求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.（2）用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.例9计算.sincos205xdxx解令,cosxt2x,0t0x,1t205sincosxdxx015dtt1066t.61,sinxdxdt例10计算解aadxxax022)0(.1令,sintaxax,2t0x,0t,costdtadx原式2022)sin1(sincosdttatata20cossincosdtttt20cossinsincos121dttttt20cossinln21221tt.4证,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf在0)(adxxf中令tx,例11当)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.0)(adxxf0)(adttf,)(0adttf①)(xf为偶函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adttf②)(xf为奇函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0奇函数例12计算解.11cos21122dxxxxx原式1122112dxxx11211cosdxxxx偶函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4单位圆的面积例13若)(xf在]1,0[上连续，证明00)(sin2)(sindxxfdxxxf.由此计算02cos1sindxxxx.证tx,dtdx0x,tx,0t0)(sindxxxf0)][sin()(dttft,)(sin)(0dttft0)(sindttf0)(sindtttf0)(sindxxf,)(sin0dxxxf.)(sin2)(sin00dxxfdxxxf02cos1sindxxxx02cos1sin2dxxx02)(coscos112xdx0)arctan(cos2x.42)44(20)(sindxxxf三、定积分的分部积分法定理3设函数)(xu、)(xv在区间ba,上具有连续导数，则有bababavduuvudv.定积分的分部积分公式证,vuvuuv(),bbaauvdxuv,bbbaaauvuvdxuvdx.bbbaaaudvuvvdu例14计算.arcsin210xdx解令,arcsinxu,dxdv,12xdxdu,xv210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx621)1(112120221xdx1221021x.12312则例15计算解.2cos140xxdx,cos22cos12xx402cos1xxdx402cos2xxdxxdxtan240401tan2xxxdxtan2140401lnsec82x.42ln8例16计算解.)2()1ln(102dxxx102)2()1ln(dxxx1021)1ln(xdx102)1ln(xx10)1ln(21xdx32lndxxx101121xx211110)2ln()1ln(32lnxx.3ln2ln35解例17设求21,sin)(xdtttxf.)(10dxxxf因为ttsin没有初等形式的原函数，无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法10)(dxxxf102)()(21xdxf102)(21xfx102)(21xdfx)1(21f102)(21dxxfx21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf10)(dxxxf)1(21f102)(21dxxfx102sin221dxxx1022sin21dxx102cos21x).11(cos21,0sin)1(11dtttf例18证明定积分公式2200cossinxdxxdxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数证设,sin1xun,sinxdxdv,cossin)1(2xdxxndun,cosxvdxxxnxxInnn2202201cossin)1(cossinx2sin10dxxndxxnInnn22002sin)1(sin)1(nnInIn)1()1(221nnInnI积分关于下标的递推公式nI4223nnInnI,直到下标减到0或1为止,214365223221202ImmmmIm,3254761222122112ImmmmIm),2,1(m,2200dxI,1sin201xdxI,221436522322122mmmmIm.325476122212212