1.5.3.2定积分的定义及几何意义相关题型

1.5.3定积分的概念第一章导数及其应用栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用学习导航学习目标重点难点重点:定积分的几何意义的应用.难点:利用定积分的基本性质解题.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用新知初探•思维启动1.定积分的概念如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi－1,xi]上任取一点ξi(i＝1,2,…,n),作和式∑ni＝1f(ξi)Δx＝__________,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的_______,∑ni＝1b－anf(ξi)定积分栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用记作∫baf(x)dx,即∫baf(x)dx＝______________,其中,a与b分别叫做_________与__________,区间[a,b]叫做____________,函数f(x)叫做_______________,x叫做___________,f(x)dx叫做____________.limn→∞∑ni＝1b－anf(ξi)积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用想一想提示:常数.1.∫baf(x)dx是一个常数还是一个变量？栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用2.定积分的几何意义如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有___________,那么定积分∫baf(x)dx表示由直线x＝a,x＝b(a≠b),y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.f(x)≥0栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用想一想提示:有.2.当f(x)0时,∫baf(x)dx是否有几何意义？栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用3.定积分的性质(1)∫bakf（x）dx＝_____________(k为常数);(2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝___________±____________;(3)∫baf(x)dx＝________＋______(其中acb).k∫baf（x）dx∫baf1(x)dx∫baf2(x)dx∫caf(x)dx∫bcf(x)dx栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用做一做答案:5已知∫32f(x)dx＝2,∫73f(x)dx＝3,则∫72f(x)dx＝________.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用典题例证•技法归纳题型探究例1题型一利用定积分的定义求定积分用定积分的定义证明∫bakdx＝k(b－a).栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用【证明】令f(x)＝k,1.分割：用分点a＝x0x1x2…xi－1xi…xn＝b将区间[a,b]等分成n个小区间[xi－1,xi](i＝1,2,…,n),2.近似代替，作和：在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2,…,n).作和式∑ni＝1f(ξi)Δx＝∑ni＝1k·b－an＝k(b－a),3.取极限：当n→∞时,k(b－a)→k(b－a),∴∫bakdx＝k(b－a).栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用【名师点评】利用定义求定积分的步骤:①分割:n等分区间[a,b];②近似代替:取点ξi∈[xi－1,xi];③求和:∑ni＝1b－anf(ξi);④取极限:∫baf(x)dx＝limn→∞∑ni＝1f(ξi)b－an.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用变式训练1.利用定积分的定义计算∫102xdx的值.解:令f(x)＝2x.将区间[0,1]等分成n个小区间,则第i个小区间为i－1n，in,第i个小区间的面积为ΔSi＝f(in)·1n＝2in·1n,栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用所以Sn＝∑ni＝1ΔSi＝∑ni＝12in·1n＝2n2(1＋2＋3＋…＋n)＝2n2·n（n＋1）2＝1＋1n,所以∫102xdx＝limn→∞Sn＝limn→∞1＋1n＝1.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用题型二利用定积分的几何意义求定积分(本题满分12分)利用定积分的几何意义,求:(1)∫3－39－x2dx;(2)∫30(2x＋1)dx.例2【思路点拨】确定被积函数→确定积分区间→画出图形→用几何法求面积→求出定积分栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用【解】(1)在平面上,y＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心,以3为半径的上半圆如图(1)所示,3分其面积为S＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知∫3－39－x2dx＝92π.6分栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用（2）在平面上，f（x）＝2x＋1为一条直线.（2x＋1）dx表示直线f（x）＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图（2）所示，9分31其面积为S＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知∫30(2x＋1)dx＝12.12分栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用【名师点评】利用几何意义求定积分,关键是准确确定被积函数的图象,以及积分区间,正确利用相关的几何知识求面积,不规则的图形常用分割法求面积.注意分割点的准确性.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用变式训练2.说明下列定积分所表示的几何意义,并根据其意义求出定积分的值:(1)∫20(3x＋1)dx;(2)∫0－1(－2x)dx.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用解:(1)∫20(3x＋1)dx表示的是图(1)中阴影所示梯形的面积,其面积为12×(1＋7)×2＝8,所以∫20(3x＋1)dx＝8.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用(2)∫0－1(－2x)dx表示的是图(2)中阴影所示三角形的面积,其面积为12×1×2＝1,所以∫0－1(－2x)dx＝1.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用题型三利用定积分的性质求定积分求解以下各题:(1)若∫10[f(x)＋g(x)]dx＝3,∫10[f(x)－g(x)]dx＝－5,则∫10f(x)dx＝________;(2)若∫ba2f(x)dx＝5,则∫baf(x)dx＝________.例3栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用【解析】(1)依题意知∫10f(x)dx＋∫10g(x)dx＝3,∫10f(x)dx－∫10g(x)dx＝－5,两式相加,得2∫10f(x)dx＝－2,故∫10f(x)dx＝－1.(2)∵∫ba2f(x)dx＝2∫baf(x)dx＝5,∴∫baf(x)dx＝52.【答案】(1)－1(2)52栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用【名师点评】利用定积分的性质可将被积函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分,将未知的定积分转化为已知的定积分;对于分段函数类型的定积分,可以利用定积分的性质分解求解.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用变式训练3.已知f(x)＝x，x∈[0，2），4－x，x∈[2，3），52－x2，x∈[3，5]，求f(x)在区间[0,5]上的定积分.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用解:如图,由定积分的几何意义,得∫20xdx＝12×2×2＝2,∫32(4－x)dx＝12×(1＋2)×1＝32,栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用∫53(52－x2)dx＝12×2×1＝1,∴∫50f(x)dx＝∫20xdx＋∫32(4－x)dx＋∫53(52－x2)dx＝2＋32＋1＝92.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用备选例题已知函数f(x)＝x3，x∈[－2，2），2x，x∈[2，π），cosx，x∈[π，2π]，求f(x)在区间[－2,2π]上的定积分.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用解:由定积分的几何意义知∫2－2x3dx＝0,∫π22xdx＝（π－2）（2π＋4）2＝π2－4,∫2ππcosxdx＝0,由定积分的性质得∫2π－2f(x)dx＝∫2－2x3dx＋∫π22xdx＋∫2ππcosxdx＝π2－4.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用方法技巧方法感悟1.定积分∫baf(x)dx是一个数值(极限值).它的值仅取决于被积函数与积分上、下限.另外∫baf(x)dx与积分区间[a,b]息息相关,不同的积分区间,所得值也不同.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用2.定积分就是和的极限limn→∞i＝1nf(ξi)·Δx,而∫baf(x)dx只是这种极限的一种记号,读作“函数f(x)从a到b的定积分”.3.若f(x)在[－a,a]上连续,则(1)当f(x)是偶函数时,∫a－af(x)dx＝2∫a0f(x)dx;(2)当f(x)是奇函数时,∫a－af(x)dx＝0.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用失误防范1.函数f(x)在区间[a,b]上连续这一条件是不能忽视的,它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上,函数连续是定积分存在的充分条件,而不是必要条件).2.当函数f(x)≤0时,曲边梯形位于x轴的下方,此时∫baf(x)dx等于曲边梯形面积S的相反数,即∫baf(x)dx＝－S.栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用知能演练•轻松闯关栏目导引新知初探•思维启动典题例证•技法归纳知能演练•轻松闯关第一章导数及其应用本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放