全等三角形证明技巧-总结

名称解释备注全等图形能完全重合的图形叫做全等图形（congruentfigures）.两个图形全等，它们的形状、大小相同.全等三角形两个能完全重合的三角形叫做全等三角形（congruenttriangles）.记作“△ABC≌△A'B'C'”，读作“△ABC全等于△A'B'C'”.表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.对应顶点（correspondingvertices）：两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点.对应边（correspondingsides）：两个三角形全等，互相重合的边叫做对应边.对应角（correspondingangles）：两个三角形全等，互相重合的角叫做对应角.全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等.全等三角形的周长、面积相等.图形的运动平移、翻折、旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前、后的两个图形全等.边角边SAS基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.角边角ASA基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.角角边AAS基本事实ASA的推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.边边边SSS基本事实：三边分别相等的两个三角形全等.斜边、直角边HL定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.“推出”符号“=”“直角三角形”符号“Rt△”尺规作图5种基本作法：1、作一条线段等于已知线段.2、作一个角等于已知角.（依据：SSS）3、平分已知角.（依据：SSS）4、过一点作已知直线的垂线.5、作已知线段的垂直平分线.轴对称把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称（linesymmetry），这条直线叫做对称轴（axisofsymmetry）.两个图形的位置关系（涉及两个图形）轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形（axiallysymmetricfigure），这条直线就是对称轴.一个具有特殊形状的图形（只涉及一个图形）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形.如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称.对称轴两个图形成轴对称，对称轴只有一条；轴对称图形的对称轴不一定只有一条.对称轴可想象成一面“镜子”如果两个图形成轴对称，那么这两个图形能够完全重合，即成轴对称的两个图形全等.初二上知识点轴对称图形全等图形全等三角形3个基本事实：SAS、ASA、SSS1个推论：AAS直角三角形全等的判定定理：HL判定两个三角形全等，通常需要3个条件，其中至少要有1对边相等.轴对称的性质轴对称与轴对称图形探索三角形全等的条件全等三角形章节名称解释备注章节垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（midpointperpendicular）.基本性质成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.画一个图形关于一条直线对称的图形，关键是确定某些点关于这条直线的对称点.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称.设计轴对称图案线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.定理角平分线上的点到角两边的距离相等.定理角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴.性质定理等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）.定理等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.“三线合一”判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.定理等边三角形的各角都等于60°.定理三个角都相等的三角形是等边三角形.定理有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴.等腰梯形在同一底上的两个角相等.等腰梯形的对角线相等.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.对角线相等的梯形是等腰梯形.勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形.勾股数满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数.勾股数有无数多组.勾股定理的简单应用轴对称图形勾股定理线段、角的轴对称性逆向思维等腰三角形的轴对称性轴对称的性质勾股定理勾股定理的逆定理a2+b2=c2a、b为直角边,c为斜边a2+b2=c2a2+b2=c2a名称解释备注章节平方根如果，那么x叫做a的平方根（suquareroot），也称为二次方根.正数a的正的平方根记作“”，负的平方根记作“”，正数a的两个平方根记作“”，读作“正、负根号a”.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.开平方求一个数的平方根的运算叫做开平方（extractionofsquareroot）.算术平方根我们知道，正数a有两个平方根，我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根.0的平方根也叫做0的算术平方根，即.立方根一般地，如果，那么x叫做a的立方根（cuberoot），数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”。正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方（extractionofcubicroot）.有理数我们把能够写成分数形式（m、n是整数且n≠0）的数叫有理数.（整数和分数的统称）有理数可以用有限小数或无限循环小数表示.无理数无限不循环小数叫做无理数。实数有理数和无理数统称为实数（realnumber）.实数的分类每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.实数与数轴上的点一一对应.有理数的绝对值、相反数、倒数的意义，有理数大小比较的方法，有理数的运算性质、运算律在实数范围内仍然适用.在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且可以进行开立方运算，任何非负实数都可以进行开平方运算.近似数生活中，有些数据是准确的，有些数据是近视的.approximatenumber在数学中，对于像π、……这样的无理数，计算时应根据具体的要求取它们的近似值.取一个数的近似值有多种方法，四舍五入法是最常用的一种.用四舍五入法取一个数的近似值时，四舍五入到哪一位，这个近似数就精确到哪一位.物体位置的确定平面直角坐标系平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系（rectangularcoordinates）.水平的数轴称为x轴（x-axis）或横轴，向右为正方向，铅直方向的数轴称为y轴（y-axis）或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点（origin）.在平面直角坐标系中，用有序实数对（a，b）描述一个点的位置，如果将这点记为点P，那么它的位置可以这样确定：过x轴上表示实数a的点画x轴的垂线，过y轴上表示实数b的点画y轴的垂线，这两条垂线的交点即为点P.实数立方根实数平方根平面直角坐标系近似数平面直角坐标系x2=aa≥0a−a±a±aa0=0x3=aa3实数有理数正有理数0负有理数有限小数或循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数2𝑚𝑛名称解释备注章节坐标在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标（coordinates）.横坐标、纵坐标点P的坐标为（a，b），其中a称为点P的横坐标，b称为点P的纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.点的坐标通常与表示该点的大写字母写在一起，如P（a，b）、Q（m，n）.象限两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限（quadrant），按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限.坐标轴不属于任何象限.各象限及坐标轴上的点的坐标特点点关于坐标轴、原点对称点的平移、旋转两点中点的坐标常量、变量在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量（constant），可以取不同数值的量叫做变量（variable）.函数一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数（function），x是自变量.函数关系变量之间的函数关系通常可以用表格、图像和函数表达式表示.函数表达式像y=100t、S=8+6(n-1)等表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式.函数图像在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像（graph）.自变量取值范围在实际问题中，自变量的取值通常有一定的范围.一次函数一般地，形如y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数（linearfunction），其中x是自变量，y是x的函数.正比例函数特别地，当b=0时，y=kx(k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数（directproportionfunction）.待定系数法先写出含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式，这样的方法叫做待定系数法.画一次函数图像列表、描点、连线一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的图像是一条直线.由于两点确定一条直线，画一次函数的图像时，只要先确定这个图像上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了.在一次函数y=kx+b中：如果k＞0，那么函数值y随自变量x增大而增大；如果k＜0，那么函数值y随自变量x增大而减小.一般地，正比例函数y=kx的图像是经过原点的一条直线；一次函数y=ka+b的图像可以由正比例函数y=kx的图像沿y轴向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到.平面直角坐标系一次函数平面直角坐标系一次函数函数一次函数的图像名称解释备注章节用一次函数解决问题一般地，一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上.一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解.已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值；当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取函数刻画现实世界数量的变化及其关系，方程刻画现实世界数量之间的相等关系，不等式刻画现实世界数量之间的不等关系.一次函数、一元一次方程和一元一次不等式一次函数一次函数与二元一次方程名称解释备注5种全等三角形证明方法（彻底理解）1.边边边（SSS）：最简单，考得也最少，考试过程中没有注意点。2.边角边（SAS）：最常考，而且考试就考“角是不是两边夹角”。当题目中得出“2对边及1对角相等”时，一定要检查“角是不是两边夹角”。3.角边角（ASA）、角角边（AAS）：题目中只要得出“1对边及2对角相等”，那就能证明三角形全等，唯一要做的就是区分好是ASA还是AAS。4.斜边、直角边（HL）：直角三角形全等的特殊证法。但当该方法不行时，前面的4种方法也能用来证明直角三角形全等。如何找斜边：斜边是直角所对的边，只要找90°的角所对的边就能找到斜边。“放大招”三角形全等的证题思路条理性证明两线段相等1.证线段所在的三角形全等2.证三角形是等腰三角形(等角对等边）3.角平分线的性质4.中垂线的性质证明两角相等1.证角所在的三角形全等2.证三角形是等腰三角形（等边对等角）3.证两直线平行，找内错角、同位角4.角平分线的性质看出题目中的隐藏条件（基本功）1.公共