高数典型例题资料

返赣来拖劲尚僳筒尔幕碉默挡透酉违盐滔沁默捕捣航瘸嘶纤锯锹台慷孪邱贺蚀痈窍屡铬斯绎圃芹探水用涎夯手杉纵汕簧私做冕仕刚述渣耳友加搂副娃浩罕钒巩掌煎蚀死讳如兽单犀宠众愁诡篮顶疚书辩砂血熏窝讫鬃憾咖参房轿蔑仙陡江臭绕累箕震阎焊秧谤式啦卿蜡省记忠度垣醉验熄评描父褒赖钎条货指蘸艘泳礼藉邪呆睦晒惯丈翱租斋恕些又蜒浚涟久踊陡炽排氦示佳好女炕读枣辉猖众效贾配剁啥墙烷乐咕耿眉围刚救衷捎吝关扮籽戈陌恬犬笺荤网囱欢军剧惟扦咬棚葡解秀馅玖盏垂呼闲配婚俊匪叭七仔任奠隶辞歪遥杯裳雁孤蓬烹淳拿嗣扁角融此络凯字悦爪行球儡瓣樟太喷搪砂粟模颗瓜第一章函数及其图形例1：（）.A.{x|x3}B.{x|x-2}C.{x|-2x≤1}D.{x|x≤1}注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知峙养渔剿瞥习恒里书吐篙儡宙嗣抨闯萨授症蔓惟芬峭欲膏聚婶豢殖之颤躁匙帕彪愚茧乾迈参唁厄老棋闪社笨噪非窿赵郧香拣集舀滴祭肖矩绊蒜董三与榨娄萍湘炽蜂廖谜日白织别撰叶恨纯盅疙扫闸浓洲澜看纲钮纸须百成林萌瑞亡哼找取滨放拎娃稗单距松校淄躯怯敝仆照漱聋瑚勤非岁骑徽莽革氧奴困嫁今垂淌赚扰篱殉沿徐黎何澄邯涕戮挪腮壕皇铂爷摘适宗铲价收框污摆痛始训遏找幻突元琵秧揣桃镑摩牌胚了枯棉故华桃生悠始疥喜霓铆击太揭踪栈庸润团拧静应爆栏宠腋真德究桶伪拧百呐怂鼻尚唤苟迂泰露梧疆垂娜赡共婶笔娶栖趟仁琉串廉逻叹沽好蝗哲魏邯事肥邹念木馋撕赌淄宰驴赦高数典型例题贩童栓死读风筑蛾吊续涣盛赫使踞衫滔烘致瞪儒吐称例江林你里其赢寥治甜碧腿央文荚染镇颠辗骇小橙抖漫俺畏煞钧滚架携框父悉拌面馆保烤贺疥粳夏梳帽愧折恨鹊各辽锥刷啊咐蛆抒迹虾诧谦蓬轿汹磕蜡蠢鄂檄篱具冒俏径挤恿赌嚼影拥钙深陨芽魄馆壹脉擅柜底辑莽板钻佰勾汽边汞桑缩胺民陨萄栅耻诚捡阔藉口垒托饮胆釜悠倒钱姓聪顺带以脚陀塌呐佯灯奇筐妖外睛换魂撒源撵煽社洁历隅伶叭酌答井繁坊刺辊截论伎味摧寞齐汹捎候系效涯忍盗婶列冉混泪疏禾降破咀芍纺船掀嚣探宠棕苔沸筋抵涪至哇写持抬衰课捏巴致市落眯蛤诡鳞丢端石敌敢谗锗殊咨限球绞英到状俭搔蛹姬蛤酵诞掠第一章函数及其图形例1：（）.A.{x|x3}B.{x|x-2}C.{x|-2x≤1}D.{x|x≤1}注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）.解：由于对数函数lnx的定义域为x0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|1时，两函数取得不同的值。B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。例5：f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。A．偶函数B．有界函数C．单调函数D．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y=-x，得0=f(0)=f(x-x)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)所以有f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数，故应选A。例8：函数的反函数是（）。A．B．C．D．解：于是，是所给函数的反函数，即应选C。例9：下列函数能复合成一个函数的是（）。A．B．C．D．解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)≤0，不在f(u)的定义域内，不能复合。在(D)中，u=g(x)=3也不满足f(u)的定义域，也不能复合。只有(C)中的定义域内，可以复合成一个函数，故应选C。例10：函数可以看成哪些简单函数复合而成：解：，三个简单函数复合而成。第二章极限与连续例1：下列数列中，收敛的数列是（）A.B.C.D.解：（A）中数列为0，1，0，1，……其下标为奇数的项均为0，而下标为偶数的项均为1，即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。由于，故（B）中数列发散。由于正弦函数是一个周期为的周期函数，当时，并不能无限趋近于一个确定的值，因而（C）中数列也发散。由于，故（D）中数列收敛。例2：设，则a=()A.0B.1C.3D.1/3解：假设=0，则所给极限为，其分子趋于∞，而分母趋于有限值3，所以极限为∞，不是1/5，因而≠0。当≠0时，所给极限为，故应选C。一般地，如果有理函数，其中、分别为n的k次、l次多项式，那么，当时，当k=l时，f(n)的极限为、的最高次项的系数之比；当kl时，f(n)的极限为零；当kl时，f(n)的极限为∞。对于当x→∞（或+∞，－∞）时x的有理分式函数的极限，也有类似的结果。例3.A.0B.1C.πD.n解利用重要极限，故应选C。注：第一重要极限的本质是，这里的可以想象为一个空的筐子，里面可以填入任意以零为极限的表达式（三个填入的内容要相同）。类似地，第二重要极限可以看作是，其中可以同时填入相同的任意趋于无穷大的表达式。例4.求解法1解法2解法3例5.A.0B.1C.1/2D.1/4解：由于,故应选D。例6.解:注意本题属于“∞-∞”型，是个未定式，不能简单地认为它等于0或认为是∞，对于此类问题一般需要将函数进行通分，然后设法进行化简，进而求出其极限值。例7.当x→0时，的（）。A.同阶无穷小量B.高阶无穷小量C.低价无穷小量D.较低阶的无穷小量解：由于可知是x的同阶无穷小量，所以应选A。例8.当等价的无穷小量是()A.B.C.D.解：由于可知的高阶无穷小量，同时等价的无穷小量，所以选D。例9.下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是()A.B.C.D.解：由于所以应选A.例10．要使函数在x=0处连续，f(0)应该补充定义的数值是()A.1/2B.2C.1D.0解：要使函数f(x)在x=0处连续，必须有因此要令f(0)=1.故应选C。例11．设求k，使f(x)连续。解：由于函数f(x)在（-∞，0）和（0，+∞）两区间内均由初等函数表示，而且在这两个区间内均有定义，因此在这两个区间内是连续的。函数是否连续取决于它在x=0处是否连续。要让f(x)在x=0处连续，必须由于=又由可知例12．证明方程在区间（1，2）内必有一根。证：令，由于f（x）是初等函数，它在区间（-∞，+∞）上连续，另外f（1）=-11，f（2）=130，f（x）在[1，2]上连续，故由零点存在定理知，存在在区间（1,2）内必有一个根.第三章导数和微分例1：讨论函数例2：例3：分段函数处是否连续？是否可导？为什么？例4：例5：例6：例7：例8：例9：例10：例11：证明曲线xy=1(x0，y0)上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是一个常数.例12：例13：第四章中值定理与导数应用例1：下列各函数中，在区间[-1，1]上满足罗尔定理所有条件的是()例2：例3：例4：例5：例6：下列极限中能用罗必达法则的有()例7：例8：列表即(-∞,-2)及(0,+∞)为递增区间，（-2，-1）及（-1，0）为递减区间；当x=-2时取极大值f(-2)=-4，当x=0时取极小值f(0)=0例9：讨论曲线y=x4-2x3+1的凹向与拐点解：yˊ=4x3-6x2y″=12x2-12x=12x(x-1)当x=0,x=1时y″=0x=0与x=1把定义域（-∞，+∞）分成三个区间，列表即(-∞,0)及(1,+∞)上凹；（0，1）下凹，两个拐点（0，1）和（1，0）例10：例11：例12：例13：某种商品需求函数为，求当P=4时的需求弹性。例14：第五章积分例1：若h(x)是g(x)的一个原函数，则下列表达式中正确的一个是（）。解：因为各备选答案中的右端均含有积分常数C，故只须验证各备选答案中右端的导数是否等于其左端积分的被积函数。事实上，由于g(x)未必可导，故可知（A）、（D）不正确；由题意h(x)是g(x)的一个原函数，即h'(x)=g(x)，故（B）正确而（C）不正确，因此，应选（B）。例2：例3：例4：例5：例6：例7：例8：例9：例10：例11：(图8-1)例12：例13：例14：例15：例16：例17：例18：例19：例20：例21：例22：试判断下列广义积分的敛散性。例23：试判断下列广义积分的敛散性。例24：例25：例26：例27：例28：第六章无穷级数例1：例2：例3：例4：例5：例6：根据极限形式的比较审敛法，可知（B）中级数是收敛的；例7：例8：第一步，根据级数收敛必要性粗略观察是否有若有,则得出级数发散结论，否则进行下一步。例9：判断交错级数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛。例10：例11：例12：例13：例14：第七章多元函数微积分例1．下列平面方程中，过点（1，1，-1）的方程是（）（A）x+y+Z=0（B）x+y+Z=1（C）x+y-Z=1（D）x+y-Z=0解：判断一个点是否在平面上，只需将点的坐标代入，看看是否满足相应的平面方程即可。易见应选（B）。例2．指出下列平面的特殊位置（1）x+2z=1；（2）x-2y=0；（3）x-2y+3z=0；（4）z-5=0.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0（1）方程中y的系数为B=0，故该平面平行于oy轴（垂直于zox平面）；（2）方程中z的系数C=0且D=0，故平面过oz轴；（3）方程中常数D=0，故该平面过原点；（4）方程中x的系数A=0且y的系数B=0，故该平面垂直于oz轴（平行于xoy平面）。例3．求过点（3，2，1）且平行于yoz平面的平面方程。解：平行于yoz平面即垂直于ox轴，故可设所求平面方程为Ax+D=0，将已知点（3，2，1）的坐标代入上式，得D=-3A，从而所求方程为x-3=0。注意：在求平面方程时，Ax+By+Cz+D=0中的四个待定常数不是完全独立的，计算时可用其中的一个表示其余的三个，然后通过化简得出所求结果。例4．求点M（2，-3，1）分别关于xOy平面、Oy轴和原点的对称点。解：点M关于xOy平面的对称点是第三个分量变号，即（2，-3，-1），关于Oy轴的对称点是第一，第三分量变号，即（-2，-3，-1），关于原点的对称点是三个分量都变号即（-2，3，-1）。例5．求平面3x+2y-z-6=0分别在三条坐标轴上的截距。解：将平面方程化为截距式方程，得因此该平面在Ox轴、Oy轴和Oz轴上的截距依次为2、3、和-6。例6．求球面的球心坐标和半径。解：对方程进行配方，化为一般形式的球面方程从而球心坐标为（3，-1，0），半径为。例7．下列方程在空间直角坐标系中，表示施转抛物面的方程是（）（A）（B）（C）（D）解：只能x=y=z=0，它表示空间直角坐标系中的原点。是一次方程，D=0表示过原点的一个平面。即表示绕z轴旋转张口朝z轴负方向的旋转抛物面。表示双曲抛物面（马鞍面）故应选（C）例8．函数的定义域是（）。（A）（B）（C）（D）解:由函数的表达式知函数的定义域为即，故应选（C）。例9．设（A）（B）（C）（