人教A版高中数学选修4-5不等式题型全归纳(有答案)

一、均值不等式在证明中的应用1.（1）已知,,,abRxyR，求证：222xyxyabab；（2）已知实数,xy满足：2221xy，试利用（1）求2221xy的最小值。（1）证：2222222222xybxayabxyxyxyxyabab222xyxyabab（当且仅当xyab时，取等号）；（2）解：222222222212121922xyxyxy，当且仅当2213xy时，2221xy的最小值是9。考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式二、绝对值不等式2.已知函数254,0()22,0xxxfxxx若函数()yfxax恰有4个零点，则实数a的取值范围为_______.答案：(1,2)解析：分别作出函数()yfx与||yax的图像，由图知，0a时，函数()yfx与||yax无交点，0a时，函数()yfx与||yax有三个交点，故0.a当0x，2a时，函数()yfx与||yax有一个交点，当0x，02a时，函数()yfx与||yax有两个交点，当0x时，若yax与254,(41)yxxx相切，则由0得：1a或9a（舍），因此当0x，1a时，函数()yfx与||yax有两个交点，当0x，1a时，函数()yfx与||yax有三个交点，当0x，01a时，函数()yfx与||yax有四个交点，所以当且仅当12a时，函数()yfx与||yax恰有4个交点.考点：单绝对值不等式3.存在0x，使得不等式22xxt成立，则实数t的取值范围为_____________答案：9,24解析：不等式22xxt，即22xtx，令11,yxty的图象是关于xt对称的一个V字形图形，其象位于第一、二象限；222yx，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在0x，使不等式22xtx成立，则1y的图象应该在第二象限和2y的图象有交点，两种临界情况，①当0t时，1y的右半部分和2y在第二象限相切：1y的右半部分即1yxt，联列方程22yxtyx，只有一个解；即22xtx，即220xxt，1480t，得：94t；此时1y恒大于等于2y，所以94t取不到；所以904t；②当0t时，要使1y和2y在第二象限有交点，即1y的左半部分和2y的交点的位于第二象限；无需联列方程，只要1y与y轴的交点小于2即可；1ytx与y轴的交点为(0,)t，所以2t，又因为0t，所以02t；综上，实数t的取值范围是：924t；故答案为：9,24．考点：单绝对值不等式4.已知函数()|21||2|fxxxa，()3gxx.（1）当2a时，求不等式()()fxgx的解集；（2）设1a，且当1[,)22ax时，()()fxgx，求a的取值范围。（1）当2a时，令15,21212232,1236,1xxyxxxxxxx，作出函数图像可知，当(0,2)x时，0y，故原不等式的解集为02xx；（2）依题意，原不等式化为13ax，故2xa对1,22a都成立，故22aa，故43a，故a的取值范围是41,3.考点：同系数绝对值相加型不等式5.已知函数()25fxxx（1）证明：3()3;fx（2）求不等式2()815fxxx的解集。（1）3,2()2527,253,5xfxxxxxx当25x时，3273x，所以， 33fx（2）由（1）可知当2x时，2()815fxxx的解集为空集；当25x时，2()815fxxx的解集为|535xx当5x时，2()815fxxx的解集为|56xx综上：不等式2()815fxxx的解集：|536xx考点：同系数绝对值相减型不等式6.设函数212fxxx（1）求不等式2fx的解集；（2）若211,2xRfxtt恒成立，求实数t的取值范围．（1）由题意得13,21()31,223,2xxfxxxxx当12x时，不等式化为32x，解得55xx，当122x时，不等式化为312x，解得112xx，当2x时，不等式化为32x，解得12xx，综上，不等式的解集为15xxx或．（2）由（1）得min52fx，若xR，2112fxtt恒成立，则只需2min51122fxtt，解得152t，综上，t的取值范围为1,52考点：不同系数绝对值相加减型不等式7.设函数()3,0fxxaxa(1)当1a时，求不等式()32fxx的解集；(2)如果不等式()0fx的解集为1xx，求a的值。（1）当1a时，()32fxx可化为|1|2x。由此可得3x或1x。故不等式()32fxx的解集为{|3xx或1}x。(2)由()0fx得30xax此不等式化为不等式组30xaxax或30xaaxx即4xaax或2xaaa因为0a，所以不等式组的解集为|2axx由题设可得=-12a，故2a考点：已知绝对值不等式解求参数8.已知函数()|||2|fxxax.（1）当3a时，求不等式()3fx的解集；（2）若()|4|fxx的解集包含[1,2]，求a的取值范围.答案：（1）当3a时，52(2)()|3||2|1(23)25(3)xxfxxxxxx所以不等式()3fx可化为2523xx，或2313x，或3253xx解得1x或4x因此不等式()3fx的解集为{|1xx或4}x（2）由已知()|4|fxx即为|||2||4|xaxx，也即|||4||2|xaxx若()|4|fxx的解集包含[1,2]，则[1,2]x，|||4||2|xaxx，也就是[1,2]x，||2xa，所以[1,2]x，22xaxa，从而1222aa，解得30a因此a的取值范围为[3,0]a.考点：已知绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减9.已知函数()2121fxxx，（1）若对任意的x有()fxa成立，求a的取值范围；（2）若不等式12()02abaabfx，对于任意的,ab都成立，求x的取值范围。（1）根据题意,a小于等于()fx的最小值由14,211()2,2214,2xxfxxxx可得min()2fx所以2a（2）当0ab即ab时，20()0bfx恒成立，xR当0ab时，由绝对值不等式得性质可得2(2)abaabaab，当且仅当(2)0aba时取''，21abaab恒成立，12()02abaabfx，21()2abafxab1()12fx，()2fx1122x考点：含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式10.已知函数13fxxx.(1)求x的取值范围,使fx为常数函数.(2)若关于x的不等式0fxa有解,求实数a的取值范围.(1)22,3134,3122,1xxfxxxxxx则当3,1x时,fx为常数函数.(2)方法一:如图,结合(1)知函数fx的最小值为4,实数a的取值范围为4a.方法二:1313xxxx;134xx,等号当且仅当3,1x时成立.得函数fx的最小值为4,则实数a的取值范围为4a.考点：含绝对值不等式的能成立问题11.已知实数,xy满足：11||,|2|,36xyxy求证：5||18y．证明：3||=|3|=|22|22yyxyxyxyxy，由题设11||,|2|,36xyxy1153||=366y.5||18y.考点：绝对值的三角不等式12.已知函数22()69816fxxxxx．（1）求()(4)fxf的解集；（2）设函数()(3)gxkx，kR，若()()fxgx对任意的xR都成立，求实数k的取值范围．（1）22()69816fxxxxx22(3)(4)|3||4|xxxx，()(4)fxf，即|3||4|xx9,4,349xxx①或43,349xxx②或3,349,xxx③解得不等式①：5x；②：无解；③：4x，所以()(4)fxf的解集为{|5xx或4}x．（2）()()fxgx即()|3||4|fxxx的图象恒在()(3)gxkx图象的上方，可以作出21,4,()|3||4|7,43,21,3xxfxxxxxx的图象，而()(3)gxkx图象为恒过定点(3,0)P，且斜率k变化的一条直线，作出函数(),yfx()ygx图象，其中2,PBk(4,7)A，1PAk，由图可知，要使得()fx的图象恒在()gx图象的上方，实数k的取值范围应该为12k．考点：同系数绝对值不等式相加型、数形结合在含参绝对值不等式中的应用三、证明不等式的基本方法13.设不等式|21|1x的解集是M，,abM．（1）试比较1ab与ab的大小；（2）设max表示数集A的最大数．2222max{,,},abhaabb求证：2.h答案：（1）1;abab（2）见解析解析：（1）先解出|01.Mxx(1)()(1)(1)0ababab.问题得证.（2）2222max{,,},abhaabb可知2222,,abhhhaabb,所以根据不等式的性质，同向正向不等式具有可乘性，从而可证出38h.故2h.考点：比较法证明不等式14.已知()11fxxx,不等式()4fx的解集为M.（1）求M；（2）当,abM时,证明:24abab.（1）解不等式：114xx；124xx或1124x或124xx12x或11x或21x，22x2,2M.（2）需证明：22224(2)816aabbabab，只需证明222244160abab，即需证明22(4)(4)0ab2222,(2,2)4,4(4)0,(4)0ababab22(4)(4)0ab，所以原不等式成立.考点：分析法证明不等式15.设0,0.ab且11.abab证明：（1）2ab；（2）22aa与22bb不可能同时成立.由11=abababab，0,0.ab得1ab（1）由基本不等式及1ab，有22abab，即2ab；（2）假设22aa与22bb同时成立，则由22aa及0a得01a，同理01b，从而1ab，这与1ab矛盾，故2