抢渡长江数学建模论文

1数学建模方法与训练数学专业期末论文题目：抢渡长江姓名：刘玲学号：3120130904215姓名：刘本超学号：3120130806129姓名：李丽虹学号：31201309041022摘要本文章对渡江问题进行了讨论分析并建立了竞渡路线优化模型。第一问由2002年第一名的比赛成绩求得其游泳速度大小约为1.54/ms，方向与水流速度方向夹角为117.67；求出了速度为1.5/ms的选手的前进方向应与水流速度方向夹角为121.85，最好成绩为910.46s。第二问先求出了参赛者始终以和岸边垂直的方向游时，其速度必须达到2.19/ms以上才有可能到达终点，但根据现有数据这几乎是不可能完成的；然后分别求出了1934年和2002年成功到达终点的最小速度及可以选择的前进角度，较好地解释了两次比赛能游到终点的人数的百分比有如此大的差别的原因，同时得出了能够以和岸边垂直的方向游并能成功到达终点的选手条件。第三问建立了江水速度分段变化的模型，选手的游泳路线为在离岸距离为200m水域沿着与流速方向夹角为125.98游动，在离岸距离为200~960mm水域沿着和流速夹角为118.12游泳，在离岸960~1160mm水域以方向125.98游向终点，最好成绩大约为904s。第四问，我们建立了江水流速按区域连续变化的两个不同模型并求解了该模型，根据运算结果，参赛者速度方向先以127.4游渡到离岸200m处，再以114.5游渡到离岸960m处，最后以127.4游渡到终点，所用时间为892.478s。最后将本文所建立的模型做了一些推广，它们可以应用到海事营救等领域。关键词：抢渡长江MATHEMATICA运动的分解最优问题3一、问题重述“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃,江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线,它们之间的垂直距离为1160米,从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米，见示意图。请你们通过数学建模来分析上述情况,并回答以下问题:1.假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。2.在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游,他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。3.若流速沿离岸边距离的分布为(设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向)：米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(yyyyv游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。4.若流速沿离岸边距离为连续分布,例如1160m1000m长江水流方向终点:汉阳南岸咀起点:武昌汉阳门41160960)1160(20028.296020028.2200020028.2)(yyyyyyv，，，或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。5.用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。6.你们的模型还可能有什么其他的应用？二、问题分析这是一道依据物体运动的合成与分解求最优解的问题，问题一：由题中给出的假设，u、v、在游泳过程中时刻保持不变，故质点在水平方向上和竖直方向上做匀速直线运动。由物理运动的合成可推出，质点的合运动也是匀速直线运动。根据题意，可以认为第一名的起点和终点即参赛的起点和终点。最后，根据物理中匀速直线运动以及运动的合成与分解知识，便可求解该题。问题二：在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则可以知道2，而1.5/ums，因此游泳者能否顺利到达终点，取决于2和1.5/ums是否是问题一中方程组的公共解。而1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别的主要原因是：1934年和2002年终点位置的不同，从而引起了水平方向位移的不同。想要成功到达终点，不仅参赛者的游泳速度很重要，而且参赛者的选择的游泳方向也是十分重要的，也就是的取值。问题三：由于问题一中水速不变的假设不成立，即在问题三中水速分成了三段开始变化，所以可以把江宽分为三段，每一段和问题一的情况一样水速和游泳者的角度都没有发生变化，因此游泳者要是成绩最好，其游泳的角度在各个段之内都没有发生变化，但是由第一段到第二段角度会有所调整，由于第一段和第三段的水速是一样的，因此在第二段到第三段时角度又会变成最初的角度。因此第5三段所用时间和第一段时间是一样的，最后根据X轴方向和和Y轴方向的位移等于速度各自的分量与时间的乘积，最后消去角度，将时间由第二段的水平距离2L表示出来。最后做成优化求时间的极小值问题。用数学软件求出其极小值。问题四：我们对于这个问题进行了分析，考虑到游泳者在游泳过程中改变游泳方向比较难，于是我们将此问题分成了三种情况。第一种情况是游泳者始终不改变游泳方向，第二种在游泳者分别在三段内的游泳方向不变，第三种情况是游泳者在第一段和第三段内的游泳方向可以任意改变。第一种情况是将两个方向上的等式相比，将X轴方向上的位移由Y轴方向的位移表示出来，由于水速在改变，于是对该等式中的Y进行积分等于总的X轴方向的位移，最后算出方向。后两种情况思路一样，不过是将江面又细分成立了一段，三段，)12(n段，然后联立X、Y轴方向位移的约束，都是消去角度用第二段的长度2L将总时间表示出来求出最小值或表达式。三、模型假设(1)选手游泳速度为确定值(2)不考虑参赛时地理因素、天气状况、水温等条件对选手的影响(3)整个竞渡过程在一个水平区域内进行(4)竞渡过程中参赛选手状况良好(5)将选手看作质点四、符号说明x轴：水流速度方向y轴：起点到对岸的垂直方向：游渡速度方向与水流速度的夹角u：游渡者游渡速度v：水流速度t：游渡中所用时间x：游渡中横向坐标y：游渡中纵向坐标T：参赛者从起点到达终点所用时间五、模型的建立与求解6由假设（3）及假设（4）可知，可以把参赛者可看质点沿游泳路线(x(t),y(t))以速度u(t)=（ucos，usin）前进，u为确定的常数。要求参赛者在水流速度给定（v为常数或者为y的函数的情况下适时变换游泳方向能找到适当的路线，以最短的时间从起点游到终点。这是一个最优控制问题，显然参赛者运动轨迹方程满足下面的约束条件cosdxuvdt(0)0,()xxTLsindyudt(0)0,()yyTH（1）化简有()(cos)xtuvt()sinytut(2)消去sincos和有2yt+2xvt=2u（3）若（3）式有解，则应去较小的解，即为22222222()2(2)4()()xytxvxvxyvu（4）且（4）满足约束条件22222(2)4()()0xvxyvu（5）即为22yuvxy（6）问题一1.1显然第一名参赛者游泳路线为一条直线时所用时间最少，其运动轨迹满足（1）式，参赛时间满足（3）式，把()xTL和()yTH带入（2）、（3）和（6）式有运动轨迹(cos)LuvT7sinHu·T（7）参赛时间22222222()2(2)4()()LHTLvLvLHvu（8）约束条件为22HuvLH（9）即为v、u、L和H必须满足的关系把1160Hm、1000Lm、1.89/vms、848Ts带入（8）式有1.54/ums带入（9）式知，满足约束条件把（10）式带入（7）式有°117.67即第一名以1.54/ums的速度沿着与水流速度夹角为°117.67的方向游向终点。下图则为这一年第一名的游泳线路，为一条直线。1.2将（7）式与（8）式两等式相比，消去时间T后，得到下式HvuHuL)cos()sin(（10）由于，vuLH,,,给定，于是利用数学公式求出角度22=arcsin()arctan()HvHLuLH（11）于是游泳者就能够根据自己的速度，算出游泳的方向1.3把1160Hm、1000Lm、1.89/vms和1.5/ums带入（8）式和（12）8式有910.46Ts°121.85带入（9）知，满足约束即一个速度能保持在1.5米/秒的人，应该朝和水流速度夹角为°121.85的方向游，且方向一直保持不变，这样能够到达终点，其成绩为为910.46Ts问题二：2.1如果游泳者始终以垂直岸边的速度前进，把2带入（10）可知如果要满足该式则，游泳者的速度必须LuvH（12）代入数据后算出该速度2.19/ums即游泳者的实际速度必须满足2.19/ums，查询历年抢渡长江参赛者成绩可知，不可能达到这个速度。2.2.1参赛者达到终点的用时最少时，其速度和水速的合速度必须在起点和终点这一条直线上，由几何关系知要使速度最小，则最小速度应垂直于这条直线，因此最小速度为minHuvL（13）代入数据算出1934和2002年的最小速度分别为min1min20.44/1.43/umsums显然，1934年要想到达终点的最小速度明显比2002年的最小速度小，因此1934年到达终点人数的百分比比2002年到达终点人数的百分比大很多。2.2.2就游泳方向上来讲，我们假定1934年参赛者最好成绩和2002年相同，即其速度均为max1max21.54/1.54/umsums分别根据这两个最大速度带入（11）算出游泳者要到达终点所必须要达到的最小角度和最大角度分别为min1117.62max2160.86min229.95max2176.87根据刚刚算出角度差可以算出角度差为max1min1max2min243.24146.929就速度均为1.54/ums而言，可以看出1934年参赛者到达终点可以选择的角度范围明显大于2002年的角度范围。同理可知，在合理的速度范围内，1934年参赛者到达终点可以选择的角度范围大于2002年的角度范围。2.2.3游泳者要想成功到达终点需要满足的条件是1.54/ums117.62160.86问题三：该问题和问题一类似，只是将江面分成了三段,设每一段X方向上的位移分别为1L、2L、3L，Y方向上的位移分别为1H、2H、3H。由几何关系可以看出，游泳时间最短时，第一段和第三段是对称的，因此有13LL、13HH,故212LLL，设在每一段游泳者的游泳角度分别为1、2、3，则13显然每一段该参赛者游泳路线为一条直线时所用时间最少，其运动轨迹满足（1）式，参赛时间满足（3）式，有最小解，把11()xtL、11()ytH带入（4）式可以表示出第一段的最短时间，同理第二段的最短时间也可以表示出来于是有222221222222222222222222112(())2()()()()22LHLHLTLLLvuvHuLL